取模

求除法运算剩下的余数

**取模是求一个数除以另一个数后剩下的余数。**输入被除数和除数，此计算器会返回余数 — 与长除法 得到的结果相同，只是单独列出。

公式

$$\vC{a \bmod n} = \vA{a} - n \left\lfloor \frac{\vA{a}}{n} \right\rfloor$$

其中 $a$ 是被除数，$n$ 是除数 — 余数是减去仍能容纳于 $a$ 中的最大整数倍 $n$ 后所剩下 的部分。

示例演算

17 mod 5：

1. $17 \div 5 = 3$ 余 $\vC{2}$ — 因为 $5 \times 3 = 15$，且 $17 - 15 = \vC{2}$。

需要考虑的关键因素

• 不同编程语言和数学惯例处理负数的方式不同。 本计算器采用大多数编程语言（JavaScript、C、Java）常见的”余数符号跟随被除数”惯例——但 Python 的 % 运算符以及一些数学教科书采用的惯例是结果始终跟随除数的符号，对于相同的负数输入可能会给出看起来不同的答案。
• a mod n 的结果总是介于 0 和 n-1 之间（采用非负惯例），这正是取模被用于”环绕”行为的原因。 这种有界范围的特性，使取模成为处理任何周期性问题的天然工具——时钟运算、星期几、数组索引的循环，以及各种重复模式，都依赖于同样的有界环绕行为。
• 判断一个数是奇数还是偶数，其实就是对 2 取模。 任何数对 2 取模的结果不是 0（偶数）就是 1（奇数）——这是日常编程中取模最简单、最常见的实际用途之一。
• 取模是密码学中的一项基础运算，尤其是与大质数结合使用时。 模运算（在固定模数下处理余数）是 RSA 等广泛使用的加密方案的基础——本计算器计算的这一基本余数概念，在真实的密码学应用中会扩展到数百位长的数字。

常见错误

• 认为取模的结果总是非负数。 本计算器采用”余数符号跟随被除数”的惯例，这意味着负的被除数会产生负数（或零）余数——在比较不同工具的结果之前，请先确认您实际需要哪种惯例。
• 把取模和普通除法混淆。 取模只返回剩下的余数，而不是商——17 除以 5 等于 3.4，但 17 mod 5 等于 2，是一个用途完全不同的数字。
• 忘记模数为 0 时是未定义的。 除以零没有答案，a mod 0 同样没有答案——任何计算器或程序都应该将此视为错误，而不是悄悄返回 0 或被除数本身。
• 混淆哪个数是被除数、哪个是除数。 除特殊情况外，a mod n 与 n mod a 并不相同——交换两者的顺序会使结果完全改变，而不仅仅是符号发生变化。

需要了解的信息

• 需要逐步查看完整的商和余数，而不仅仅是余数吗？长除法计算器 会展示完整的长除法过程。
• 想处理两个数的公因数或公倍数，而不是余数吗？最大公因数与最小公倍数计算器 可以求出最大公约数和最小公倍数。
• 想知道某个数本身是否为质数，或它是如何分解成因数的吗？质因数分解计算器 会展示完整的质因数分解。