对数

对比计算

下载

包含本次计算的输入与结果，以及您对比过的所有附加计算。

对数回答的问题是”我需要把底数提高到几次幂，才能得到这个数字？” 输入一个数值和一个底数，此计算器将求出该对数，以及同一数值以 10 为底、自然对数（ln）和以 2 为底的对数值。

\vC{\log_b(x)} = \frac{\vA{\ln(x)}}{\vB{\ln(b)}}

其中 $x$ 是数值， $b$ 是底数 — 这就是换底公式，因为大多数计算器只内置了自然对数（ $\ln$ ）函数。

以 2 为底 8 的对数：

$\vC{\log_2(8)} = \frac{\vA{\ln(8)}}{\vB{\ln(2)}} = \frac{2.079}{0.693} \approx \vC{3}$ — 因为 $2^3 = 8$ 。

对数只对正数（以及除 1 以外的任意正底数）有定义。 零或负数的对数没有实数解——这反映了一个事实：一个正底数不论取任何实数次幂，结果永远是正数，因此不存在能得出零或负数的实数指数。
对数刻度广泛用于跨度极大的数量。 用于地震震级的里氏震级、用于声音的分贝刻度，以及用于酸碱度的 pH 值，都是对数刻度——每一个整数级别的差异都代表着底层数量十倍（或类似量级）的变化，这正是为什么这些刻度上”很小”的差异在现实世界中可能代表巨大差异的原因。
以 10 为底、以 e 为底（自然对数）和以 2 为底，各自在不同领域中出现有不同原因。 以 10 为底自然契合十进制数系和日常刻度；以 e 为底自然出现在微积分以及连续增长/衰减（如连续复利）中；以 2 为底则是计算机科学的基础，因为其中的数量常常成倍增长（如数据存储或二分查找步骤）。
关键的对数恒等式能让您把复杂表达式拆解成更简单的部分。 log(a×b) = log(a) + log(b)，log(aⁿ) = n×log(a)——正是这些规则，让对数在计算器出现之前，历史上被用来把困难的乘法和乘方问题转化为更简单的加法。

试图求零或负数的对数。 无论对正底数施加什么样的实数指数，都不可能得到零或负数结果，因此这些输入没有实数解——此计算器会将其标记为无效，而不是返回一个数值。
在阅读公式或教科书时把”log”和”ln”搞混。 单独的”log”在日常和工程语境中通常表示以 10 为底，但许多数学和计算机科学文献中会用它来表示自然对数（以 e 为底）——请务必查明来源使用的是哪种约定，而不要想当然地假设。
忘记对数的底数必须为正且不能等于 1。 如果底数为 1，它的任何幂都等于 1，因此无法求出能产生其他任何值的指数——而负底数会产生正负交替的结果，彻底破坏实数对数的定义。
把对数刻度当作线性刻度来解读。 里氏震级相差 2 级并不是强度翻倍——而是释放的能量大约相差 1,000 倍，因为每一个整数级别都代表振幅十倍的变化（能量则约为 31.6 倍的变化）。

什么是对数？

对数回答的问题是“我需要把底数提高到几次幂，才能得到这个数字？”例如，以 2 为底 8 的对数是 3，因为 2 的 3 次方等于 8。对数是指数运算的逆运算。

如何计算任意底数的对数？

使用换底公式：log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)，其中 ln 是自然对数。大多数计算器（包括此计算器）只内置了几个特定底数的函数，因此这个公式可以让您从这些函数求出任意底数的对数。

log 和 ln 有什么区别？

按惯例，“log”（不写明底数时）表示以 10 为底（“常用”对数），而“ln”特指自然对数，底数为 e（约等于 2.71828）。无论您实际请求的是哪个底数，此计算器都会同时显示这两者，以及以 2 为底的对数。

为什么不能对负数取对数？

因为一个正的底数无论提高到任何实数次幂，结果始终为正 -- 不存在能使正底数产生零或负数的实数指数。负数的对数在复数系统中确实存在，但那超出了此计算器的计算范围。

对数在现实中有哪些应用？

对数刻度用于任何跨度极大的量，例如地震震级（里氏震级）、声音强度（分贝）以及酸碱强度（pH 值）。对数也出现在计算机科学中（二分查找、信息论），以及用于对持续增长或衰减建模，例如放射性衰变或连续复利。