分数

分数计算方法

对两个分数进行加、减、乘或除运算，会将它们组合成一个化简后的结果。 输入两个分数并选择一种运算，此计算器将返回化简后的结果、其小数等价值，以及当结果是假分数（分子大于分母）时的带分数形式。每个分数还有一个可选的整数字段，因此像 1 1/2 这样的带分数可以直接输入，而无需先将其转换为假分数 3/2。

第二种模式“将小数转换为分数”则相反：输入任意小数，得到与之等价的最简分数 — 这对于将测量值或计算器的小数输出转换为您可以实际标注在卷尺或食谱上的分数很有用。

公式

加法或减法首先通过交叉相乘找到公分母：

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

乘法直接横向相乘：

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

除法乘以第二个分数的倒数：

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

然后每个结果都通过将分子和分母都除以它们的最大公约数来化简为最简形式。

将小数转换为分数使用连分数展开法 — 这是找到与给定小数近似的最简分数的标准方法，而不是仅仅读出小数点后的数字（那样会将像 0.333333 这样的循环小数变成一个像 333333/1000000 这样丑陋的分数，而不是它实际近似的 1/3）。

举例说明

将 1/2 和 1/3 相加：

1. 公分母：$2 \times 3 = 6$。
2. 分子：$1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$。
3. 结果：$\frac{5}{6}$（已是最简形式）— 约为 0.8333。

将 1/2 和 2/3 相加则得到一个假分数：$\frac{7}{6}$，此计算器也会将其显示为带分数 1 1/6。

需要考虑的关键因素

• 化简为最简形式始终给出等价的值，而不仅仅是一个”看起来更简洁”的数字。 将 5/10 化简为 1/2 并不会改变它所代表的整体比例——两者描述的是完全相同的数量，只是用更小的数字表示，这正是习惯上偏好使用化简形式而非必须如此的原因。
• 通过交叉相乘来做加减法对任意两个分数都适用，但并不总是最高效的方法。 找到最小公分母（而不是像本计算器在化简前那样直接将两个分母相乘）有时可以让中间数字更小——但两种方法最终总会收敛到相同的化简结果。
• 负分数遵循相同的规则，符号会在每一步运算中被追踪。 符号不同的两个分数（一正一负）相乘或相除会得到负结果，遵循与普通乘除法相同的符号规则。
• 除以一个分数等同于乘以它的倒数，这条规则值得记住，不仅限于本计算器。 这种分数除法中”翻转再相乘”的捷径直接来自除法作为乘法逆运算的定义，无论您是手算还是使用像本计算器这样的工具，都同样适用。

常见错误

• 直接合并分子和分母来对分数进行加减。 如上所述，分数需要先有公分母才能合并分子——将 1/2 + 1/3 计算为 (1+1)/(2+3) 会得到错误答案 (2/5)，而不是正确的 5/6。
• 忘记化简最终结果。 如上所述，像 4/8 这样未化简的答案在数学上是正确的，但不符合大多数场合所期望的传统最简形式 (1/2) — 在将结果视为最终结果之前，务必用最大公约数进行化简。
• 做除法时颠倒了错误的分数。 如上所述，除以一个分数意味着乘以该分数的倒数 — 颠倒第一个分数而不是第二个分数，会得到正确答案的倒数，而不是答案本身。
• 仅通过读取小数点后的数字将小数转换为分数。 如上所述，这对于有限小数是有效的，但对于循环小数会产生不必要的庞大且未化简的分数 — 将 0.333333 按字面读取会得到 333333/1000000，而不是它实际近似的真实值 1/3。

实用知识

• 带分数及其假分数形式始终表示相同的值 — 1 1/2 和 3/2 是书写相同数量的两种不同方式，适用于不同场合（食谱以带分数形式阅读更自然，而进一步的运算通常用假分数更容易）。
• 用于化简分数的最大公约数，与最大公约数/最小公倍数计算器所计算的相同 — 如果您想单独查看这一步骤，值得去那里核对。
• 此计算器与比率计算器（用于比较两个量而非合并它们）和长除法计算器（分数的小数等价值正是来自这一除法过程）自然搭配使用。