线性插值

估算两个已知点之间的值

**线性插值通过假设两个已知数据点之间的关系遵循一条直线，来估算它们之间的未知值。**输入两个已知 点 (x, y) 以及您想要估算的 x 值，此计算器会求出对应的 y 值。

公式

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是您的两个已知点，$x$ 是您想要估算的值。

示例演算

一辆车在 2 小时时位于 50 英里处，在 5 小时时位于 140 英里处。它在 3.5 小时 时位于何处？

1. $y = 50 + (3.5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1.5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ 英里}}$

需要考虑的关键因素

• 在两点之间插值通常比在其范围之外外推更可靠。 如果目标 x 值落在您两个已知点之间，就仍处于实际观测到该关系的范围内；而目标值落在该范围之外，则是假设同样的直线趋势会不变地继续下去——偏离已知范围越远，这个假设就越冒险。
• 这种方法对真正的线性关系是精确的，对其他情况则只是一种近似。 恒定速度的物理过程、固定速率，或任何真正呈直线关系的情形，用这个公式都能得到精确答案——但大多数现实过程（如复合增长或加速度）实际上是弯曲的，因此两个已知点相距越远，直线估算在它们之间某处偏离真实情况的可能性就越大。
• 参考表格（如工程中的查表、蒸汽表或精算表）通常依赖在列出的数值之间进行线性插值。 表格不会列出每一个可能的输入值，而是列出一组可管理的已知点，并期望读者在它们之间进行插值——这正是这项技术最常见的实际用途之一。
• 加入第三个已知点可以揭示线性假设是否真正合理。 如果您知道的第三个点落在另外两点连线附近，那么在该范围内线性插值大概是可靠的——如果它明显偏离那条线，说明背后的关系很可能是弯曲的，直线估算的结果应更加谨慎对待。

常见错误

• 外推远超已知范围，却以对待插值一样的信心对待结果。 落在两个已知点之外的目标值假设趋势会 保持不变地延续——这比估算真正落在两点之间的值要冒险得多。
• 在未检验实际过程是否真正呈线性之前就假设其为线性关系。 复合增长或加速度等过程实际上是弯曲 的而非直线的，因此线性估算可能明显有误，尤其是在远离已知点的地方。
• 混淆哪个已知点是哪个。 在公式中把 x1/y1 与 x2/y2 互换会得到不同（且错误）的斜率——请仔细 核对每个已知点的 x 值和 y 值是否正确地一同输入。
• 在背后关系并非线性时，使用相距很远的两个已知点。 两点之间的差距越大，曲线偏离连接它们的直 线的空间就越大——距离更近、更相关的已知点通常能得到更可靠的估算。

实用小知识

• 您有多个数据点而不只是两个，并且想要一条最适合所有点的直线吗？最小二乘回归计算器 计算器可以处理这种更广泛的情况。
• 需要两点之间的斜率，而不是第三点处的估算值吗？距离、中点与斜率计算器 计算器可以直接 满足这一需求。