三角形

3つの既知の値から三角形を解く

三角形は、6つの決定要素(3辺の長さと3つの内角)のうち、少なくとも1つが辺であれば、任意の3つによって完全に決定されます。 すでにわかっている3つの値(辺については都合の良い単位で構いません — この計算機は内部で変換します)を入力すると、残りをすべて解きます — 各辺、各角度、周囲長、面積、そして2つの分類 — 辺の長さによる(正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形)分類と角度による(鋭角、直角、鈍角)分類です。「計算対象」のドロップダウンで、どの値を主要な回答として表示するかを選択できます。どの値が強調表示されていても、すべての値は常に計算され「計算結果の詳細」に一覧表示されます。

これらは幾何学の古典的なケースです: 3辺(SSS)、2辺とその間の角度(SAS)、2つの角度と任意の1辺(ASA/AAS)、または2辺とそれらの間にない角度(SSA)です。最後のケースは一般に本当に曖昧です — 同じ2辺の長さとその外側の角度は、時に2つの異なる有効な三角形を完成させることがあります — そのため、この計算機はそれを検知し、黙って推測する代わりに、挟角または3つ目の辺を代わりに入力するよう求めます。

また、どんな3つの辺の長さでも実際に三角形を形成できるわけではありません。「三角不等式」は、各辺が他の2つの合計より短いことを要求します — 長さ1、2、10のストローを3本用意しても、どう角度をつけても3つの角で出会うように配置することはできません。この計算機はまずそれを確認し、入力した長さが機能しない場合は明確に説明します。

計算式

面積はヘロンの公式から、半周長$\vD{s}$(周囲長の半分)を使って求められます:

$$\text{面積} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

各角度は余弦定理から、特定の辺の対角を解いて求められます — 例えば、辺aの対角:

$$\text{角A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

辺を回転させた同じ公式が角Bと角Cを与えます。3つの角は常にちょうど180°に合計されます。

計算例

辺が7、8、9の三角形の場合:

1. 半周長: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$。
2. 面積: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$。
3. 7の辺の対角: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$。
4. 8の辺の対角: $\approx 58.41°$。
5. 9の辺の対角: $\approx 73.40°$ — 最大の角ですが、それでも90°未満です。

3辺すべてが異なる長さで、すべての角が90°未満であるため、この三角形は不等辺三角形かつ鋭角三角形です。

考慮すべき重要なポイント

• 2つの三角形分類システム(辺によるものと角によるもの)は互いに完全に独立しています。 三角形は常に正三角形/二等辺三角形/不等辺三角形のいずれか1つ、かつ鋭角/直角/鈍角のいずれか1つに正確に該当します — これら2つのラベルは本当に異なる特性を表しているため、三角形は正しく両方のラベルを同時に得ます(例えば「二等辺かつ鈍角」は完全に有効な組み合わせです)。
• SSA(辺-辺-角)ケースは、この計算機特有の癖ではなく、三角形幾何学におけるよく知られた本当の曖昧さです。 2辺と挟角ではない角が与えられた場合、それらの正確な測定値を満たす三角形がゼロ、1つ、または2つ存在することが数学的に可能です — これは三角形幾何学の実際の特徴(三角法の授業では「曖昧なケース」と呼ばれることもあります)であり、これがまさにこの計算機が黙って推測する代わりに異なる入力の組み合わせを求める理由です。
• 三角不等式は、さらなる計算を行う前に、与えられた3つの長さが実際の三角形を形成できるかどうかを確認する迅速な方法です。 各辺は他の2つの合計より厳密に短くなければなりません — このチェックが失敗した場合、それらがどのように配置されても、その3つの長さで有効な三角形は存在しません。
• あらゆる三角形の3つの内角は常にちょうど180度に合計され、これは内部的な整合性チェックとして使われる固定の幾何学的事実です。 2つの角がわかれば、3つ目は180°から引くことで自動的に決まります — この固定合計の性質こそが、2つの角(と任意の1辺)がわかるだけで三角形を完全に解くのに十分な情報である理由です。

よくある間違い

• 辺の長さを一つも入力せずに3つの角度だけを入力すること。 3つの角度だけでは三角形の形だけが 決まり、大きさは決まりません — 同じ3つの角度を持ちながら大きさが異なる三角形は無数に存在します — そのため、実際の面積と辺の長さの組み合わせを得るには、形だけでなく、常に少なくとも1つの辺の 長さが必要です。
• SASのケースでどの角が「挟角」かを取り違えること。 余弦定理で重要なのは、与えられた2辺の間 にある角です — 三角形の他の場所にある角を使うと、本当に曖昧なSSAのケースが生じてしまい、この 計算機はそれを推測せずに検知します。
• 任意の3つの正の数が三角形を作れると仮定すること。 三角不等式を満たさない長さの組み合わせ (1辺が他の2辺の合計と等しいか、それより長い)は、数字をどう並べ替えても実際の三角形をまったく 表しません。

知っておくと便利なこと

• より大きな図形の一部として三角形の面積や辺の長さを扱っていますか？ 面積計算機 は 三角形以外にも一般的な2D図形の面積を幅広くカバーしています。
• 3つの既知の三角形の値ではなく、2つの座標点間の距離や傾きが必要ですか？ 距離・中点・傾き計算機 がそれを直接処理します。