順列組み合わせ

グループからの並べ方と選び方を数える

順列(nPr)は、順序が重要なn個からr個の項目を並べる方法の数を数え、組み合わせ(nCr)は、順序が重要でないn個からr個の項目を選ぶ方法の数を数えます。 総項目数(n)と選ぶ項目数(r)を入力すると、この計算機は関連する両方の答えを一度に求めます。

計算式

• 順列: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — 同等に、$\vA{n}$から始まる$\vB{r}$個の降順の数の積です: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$。
• 組み合わせ: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — 同じ順列の数を、その同じ$\vB{r}$個の項目自体が並び替えられる$\vB{r}!$通りで割ったもの(組み合わせでは順序が重要でないためです)。

計算例

10個のグループから3個を選ぶ、順序が重要な場合(順列):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

同じ選択で順序が重要でない場合(組み合わせ):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

実世界での確認

49個から6個を選ぶ宝くじの抽選ですべての6つの数字が一致する確率は、C(49,6)分の1 — 正確に13,983,816分の1です — 数字が引かれる順序は当選かどうかを変えないためです。

考慮すべき重要なポイント

• 順序が重要かどうかが、どちらの計算式を適用すべきかを決める唯一の問いです。 表彰台でのメダル受賞者の配置(1位、2位、3位が重要)は順列の問題ですが、委員会に入る3人を選ぶこと(順位付けなし)は組み合わせの問題です — この区別を正しく見極めることが、これらの計算式を適用する際に最もよくある誤りの原因です。
• 同じnとrに対して、組み合わせは常に順列以下の数になります。 組み合わせは同じr個の項目のあらゆる順序をまとめて1つの数にするため、C(n,r)は常にP(n,r)をr!で割ったものになります — 2つの値が正確に一致するのはrが0または1のときだけです。0個または1個の項目を並べる方法は順序に関係なく1通りしかないためです。
• 順列と組み合わせの両方の数は、nとrが増えるにつれて非常に速く増加します。 この爆発的な増加(組み合わせ爆発と呼ばれる)は、抽選対象の数がわずかに増えるだけで宝くじ式の確率が天文学的に小さくなる理由です — 例えば、49個から6個を選ぶ宝くじから59個から6個を選ぶ宝くじに変わると、対象がわずか10個増えるだけで確率が意味のある形で悪化します。
• これらの計算式は、すべての項目が異なり、どれも2回以上選べないことを前提としています。 繰り返しの選択を許すシナリオ(数字が繰り返せる4桁のPINなど)は、まったく異なる数え方の計算式を使用します — ここで標準的なnPr/nCrの計算式を適用する前に、繰り返しが許されているかどうかを必ず確認してください。

よくある間違い

• 順序が実際には重要でないのに順列数を使うこと、あるいはその逆。 これが最も多い間違いです — 計算式を選ぶ前に、まず2つの選ばれた項目を入れ替えたら別の結果として数えられるかどうかを問うべきで、問題の言い回しから推測すべきではありません。
• 同じnとrに対して組み合わせが順列より大きくなることはないという点を忘れること。 同じ入力に対して組み合わせの数が対応する順列の数より大きく出た場合、何かの入力を間違えています — 組み合わせは順列の数を割って小さくするものであり、決して大きくすることはありません。
• 繰り返しの選択を許す状況にこれらの計算式を適用すること。 どちらの計算式も、各項目を最大1回しか選べないことを前提としています — 繰り返しを許す問題(4桁のPINの生成など)には、nPrやnCrではなくまったく異なる数え方が必要です。

知っておくと便利なこと

• 可能性を数えるだけでなく、特定の結果の確率を実際に計算したいですか？確率計算機は組み合わせや順列の数を実際の確率に変換します。
• 並べ方を数えるだけでなく、データセット全体を扱っていますか？統計計算機は数値のリストから平均、標準偏差、その他の要約値を計算します。
• 関連する組み合わせ論の問題の一部として比率を簡略化したり、共通の分母を見つけたりする必要がありますか？最大公約数・最小公倍数計算機は数値の集合の最大公約数と最小公倍数を求めます。