分数

分数の計算方法

2つの分数を足し算、引き算、掛け算、割り算すると、それらが1つの単純化された結果に結合されます。 2つの分数を入力して演算を選ぶと、この計算機は単純化された結果、その小数相当値、そして結果が仮分数(分子が分母より大きい)の場合は帯分数の形も返します。各分数には任意の整数部フィールドもあるため、1 1/2のような帯分数を、まず仮分数3/2に変換することなく直接入力できます。

2つ目のモード「小数を分数に変換する」は逆方向です: 任意の小数を入力すると、その最も単純な相当分数が返ってきます — 測定値や計算機の小数出力を、実際にメジャーやレシピに書き込める分数に変えるのに便利です。

計算式

足し算・引き算は、まず交差乗算して共通分母を求めます:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

掛け算は単純にそのまま掛け合わせます:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

割り算は2つ目の分数の逆数を掛けます:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

すべての結果は、分子と分母を両方とも最大公約数で割ることで、最も簡単な形に約分されます。

小数を分数に変換するには連分数展開を使用します — これは、小数点以下の桁をそのまま読み取る(0.333333のような循環小数を、実際に近似している1/3ではなく333333/1000000のような醜い分数にしてしまう)のではなく、与えられた小数に近い最も単純な分数を見つける標準的な方法です。

計算例

1/2と1/3を足す場合:

1. 共通分母: $2 \times 3 = 6$。
2. 分子: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$。
3. 結果: $\frac{5}{6}$(すでに最も簡単な形です) — 約0.8333。

代わりに1/2と2/3を足すと仮分数になります: $\frac{7}{6}$、この計算機はこれを帯分数1 1/6としても表示します。

知っておくべき重要なポイント

• 最も簡単な形に約分しても、常に同じ値になり、単に「見た目がきれい」になるだけではありません。 5/10を1/2に約分しても、それが表す全体に対する割合は変わりません — どちらもまったく同じ量を、より小さな数字で表しているだけです。単純化された形が慣習として好まれるのは、必要だからというより慣習によるものです。
• 交差乗算による足し算・引き算はどんな2つの分数にも使えますが、必ずしも最も効率的な方法とは限りません。 最小公倍数を求める方法(単純に2つの分母を掛け合わせるこの計算機の交差乗算方式とは異なり、単純化の前段階として使われます)は、より小さな中間の数を扱える場合がありますが、どちらの方法も最終的には同じ単純化された答えに収束します。
• 負の分数も同じルールに従い、各演算を通じて符号が追跡されます。 符号の異なる分数(片方が正、片方が負)を掛けたり割ったりすると、通常の掛け算・割り算と同じ符号のルールに従って負の結果になります。
• 分数で割ることは、その逆数を掛けることと同じであり、この計算機に限らず覚えておく価値のあるルールです。 この分数の割り算における「ひっくり返して掛ける」という近道は、割り算を掛け算の逆演算として定義することから直接導かれるもので、手計算でもこのようなツールを使う場合でも同じように成り立ちます。

よくある間違い

• 分子と分母を直接組み合わせて分数を足したり引いたりする。 上記で説明したように、分子を組み合わせる前に分数には共通の分母が必要です — 1/2 + 1/3を(1+1)/(2+3)として計算すると、正しい5/6ではなく間違った答え(2/5)になります。
• 最終結果を約分するのを忘れる。 上記で説明したように、4/8のような約分されていない答えは数学的には正しいですが、ほとんどの場面で期待される慣習的な最も簡単な形(1/2)ではありません — 結果を最終的なものとして扱う前に、必ず最大公約数で約分してください。
• 割り算で間違った分数をひっくり返す。 上記で説明したように、分数で割ることはその分数の逆数を掛けることを意味します — 2番目の分数ではなく最初の分数をひっくり返すと、正しい答えの逆数が得られ、答えそのものは得られません。
• 小数点以下の桁をそのまま読み取るだけで小数を分数に変換する。 上記で説明したように、これは有限小数には有効ですが、循環小数には不必要に大きく約分されていない分数を生み出します — 0.333333を文字通り読むと、実際に近似している1/3ではなく333333/1000000になってしまいます。

知っておくと便利なこと

• 帯分数とその仮分数の形は常に同じ値を表します — 1 1/2と3/2は同一の量を書く2つの異なる方法であり、それぞれ異なる場面で便利です(レシピは帯分数としてより自然に読め、さらなる計算は仮分数の方がしばしば簡単です)。
• 分数を約分するために使われる最大公約数は、最大公約数/最小公倍数計算機が計算するのと同じGCDです — この手順を個別に確認したい場合は、そちらをチェックする価値があります。
• この計算機は、比率計算機(2つの量を組み合わせるのではなく比較する場合)や筆算割り算計算機(分数の小数相当値がどこから来るかという割り算のプロセス)と自然に組み合わせて使えます。