平方根・n乗根

数のn乗根を求める

ある数のn乗根とは、n乗すると元の数に戻る値です。 数値と根の次数(平方根なら2、立方根なら3、というように)を入力すると、この計算機はその値を求めます。

平方根(次数2)と立方根(次数3)が最も一般的に使われる2つのケースですが、同じ考え方は任意の整数次数に拡張されます。負の数は次数が奇数の場合にのみ実数のn乗根を持ちます — 通常の平方根のような偶数乗根は、負の数に対してまったく実数ではありません。どんな実数も偶数回自分自身を掛け合わせて負の結果になることはないためです。

計算式

$$\sqrt[\vB{n}]{\vA{x}} = \vA{x}^{\frac{1}{\vB{n}}}$$

ここで$\vA{x}$は数値、$\vB{n}$は根の次数です。答えの確認は簡単です: 結果を$\vB{n}$乗し直すと$\vA{x}$が再現されるはずです。

計算例

1. 平方根: $\sqrt{\vA{144}} = 12$、$12^2 = 144$だからです。
2. 立方根: $\sqrt[3]{\vA{27}} = 3$、$3^3 = 27$だからです。
3. 負の数、奇数次数: 実数の答えがまだ存在します — $\sqrt[3]{\vA{-8}} = -2$、$(-2)^3 = -8$だからです。
4. 負の数、偶数次数: $\sqrt{-8}$のような負の数の偶数乗根には実数の答えがありません — この計算機は誤解を招く結果を返す代わりにその場合を示します。

考慮すべき重要なポイント

• 正の数は技術的には2つの実数の平方根を持ちますが、通常既定で意味されるのは正の方だけです。 12と-12はどちらも2乗すると144になりますが、「√」記号は慣習的に正の(主)根を指します — この計算機は標準的な数学の慣習に従い、主根を返します。
• 根と指数は互いの正確な逆であり、これが分数指数の公式が機能する理由です。 ある数のn乗根を取ることは、それを1/n乗することと数学的に同一です — これはまさに指数計算機が逆方向に使用しているのと同じ関係であり、一方を理解することはもう一方を理解するのに役立ちます。
• 負の数の偶数次数の根は複素数体系には存在しますが、この計算機が計算する実数には存在しません。 負の数を偶数乗根にすると、数学的には「虚数」の結果が生じます — この計算機は意図的に実数の答えに範囲を限定しており、これは日常的で実用的な根の計算の大部分にとって実際に意味のあるものと一致しています。
• より高次の根は、元の数自体よりもはるかにゆっくりと成長します。 数が大きくなるにつれて、その平方根は数自体よりもゆっくりと成長し、立方根はさらにゆっくりと成長し、より高次の根でも同様です — この逓減する成長の性質が、統計学やデータ分析で幅広い値の範囲をより扱いやすいスケールに「圧縮」するために根がよく使われる理由です。

よくある間違い

• 負の数の偶数乗根から実数の答えを期待すること。 平方根、四乗根、その他の負の数の偶数乗根には実数の解がありません — この計算機は誤った数値を黙って返す代わりにその場合を示します。
• 主平方根が正の方だけであることを忘れること。 12と-12はどちらも2乗すると144になりますが、「√144」は慣習的に正の根だけを意味します — 負の根が自動的に含まれると仮定しないでください。
• 根の次数と根を求める対象の数を混同すること。 次数と数を逆のフィールドに入力すると、まったく異なる(通常はずっと大きいか小さい)答えになります — 結果を読む前にどちらのフィールドがどちらか確認してください。

知っておくと便利なこと

• 逆方向が必要ですか — 根を求める代わりに数をべき乗すること? 指数計算機 はその逆演算を扱います。
• 根や指数に加えて対数も扱っていますか? 対数計算機 は同じ数学的関係の3番目の部分です。
• より複雑な式のために完全な科学計算機が必要ですか? 関数電卓 は1つの式で根、指数、その他多くをサポートします。