삼각형

세 가지 알려진 값으로 삼각형 풀기

삼각형은 6개의 결정 값(3개의 변 길이와 3개의 내각) 중 어느 것이든 3개만 알면 완전히 결정됩니다. 단, 그중 최소 하나는 변이어야 합니다. 이미 알고 있는 3개의 값(변은 편한 단위로 입력하면 계산기가 내부에서 자동으로 변환합니다)을 입력하면 나머지를 모두 계산합니다 — 모든 변, 모든 각도, 둘레, 넓이, 그리고 변의 길이에 따른 분류(정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형)와 각도에 따른 분류(예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형) 두 가지입니다. “구하는 값” 드롭다운을 사용해 어떤 값을 대표 결과로 표시할지 선택하세요. 어떤 값이 강조되든 모든 값은 항상 계산되어 “계산 결과 상세”에 표시됩니다.

이는 기하학의 고전적인 경우들입니다: 세 변(SSS), 두 변과 그 사이 각도(SAS), 두 각도와 임의의 한 변(ASA/AAS), 또는 두 변과 그 사이에 있지 않은 각도(SSA)입니다. 마지막 경우는 일반적으로 정말로 모호합니다 — 같은 두 변의 길이와 그 바깥쪽 각도가 때로는 두 개의 서로 다른 유효한 삼각형으로 완성될 수 있습니다 — 그래서 이 계산기는 이를 감지하고, 조용히 추측하는 대신 낀각이나 세 번째 변을 대신 입력하도록 요청합니다.

또한 세 길이가 주어졌다고 해서 항상 삼각형이 만들어지는 것은 아닙니다. “삼각형 부등식”에 따르면 각 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다 — 길이가 1, 2, 10인 빨대 세 개는 아무리 각도를 조절해도 세 꼭짓점에서 서로 만나도록 배열할 수 없습니다. 이 계산기는 먼저 이 조건을 확인하고, 입력한 길이가 삼각형을 이루지 못할 경우 그 이유를 명확히 설명해 줍니다.

계산식

넓이는 헤론의 공식으로 구하며, 반둘레 $\vD{s}$(둘레의 절반)를 사용합니다:

$$\text{넓이} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

각 각도는 코사인 법칙에서 특정 변의 대각을 구하는 식으로 얻습니다 — 예를 들어 변 a의 대각은 다음과 같습니다:

$$\text{각 A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

변을 바꿔가며 같은 공식을 적용하면 각 B와 각 C도 구할 수 있습니다. 세 각의 합은 항상 정확히 180°입니다.

계산 예시

변이 7, 8, 9인 삼각형의 경우:

1. 반둘레: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. 넓이: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$.
3. 변 7의 대각: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$.
4. 변 8의 대각: $\approx 58.41°$.
5. 변 9의 대각: $\approx 73.40°$ — 가장 큰 각이지만 여전히 90° 미만입니다.

세 변의 길이가 모두 다르고 모든 각이 90° 미만이므로, 이 삼각형은 부등변삼각형이면서 예각삼각형입니다.

고려해야 할 주요 요소

• 두 가지 삼각형 분류 체계(변에 의한 분류와 각도에 의한 분류)는 서로 완전히 독립적입니다. 삼각형은 항상 정삼각형/이등변삼각형/부등변삼각형 중 정확히 하나이면서, 동시에 예각삼각형/ 직각삼각형/둔각삼각형 중 정확히 하나입니다 — 이 두 분류는 실제로 서로 다른 속성을 나타내므로, 삼각형은 두 분류를 동시에 정확하게 받을 수 있습니다(예: “이등변이면서 둔각”은 완전히 유효한 조합입니다).
• SSA(변-변-각) 경우는 이 계산기의 특이점이 아니라 삼각형 기하학에서 잘 알려진 진짜 모호성입니다. 두 변과 낀각이 아닌 각도가 주어지면, 정확히 그 측정값을 만족하는 서로 다른 삼각형이 수학적으로 0개, 1개, 또는 2개 존재할 수 있습니다 — 이는 삼각법 수업에서 때때로 “모호한 경우”라고 불리는 삼각형 기하학의 실제 특성이며, 이것이 바로 이 계산기가 조용히 추측하는 대신 다른 입력 조합을 요청하는 이유입니다.
• 삼각형 부등식은 추가 계산을 하기 전에 주어진 세 길이가 실제 삼각형을 만들 수 있는지 빠르게 확인하는 방법입니다. 각 변은 나머지 두 변의 합보다 엄격히 짧아야 합니다 — 이 확인을 통과하지 못하면, 어떻게 배열하든 그 세 길이로는 유효한 삼각형이 존재하지 않습니다.
• 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 정확히 180도이며, 이는 내부 일관성 검사로 사용되는 고정된 기하학적 사실입니다. 두 각을 알면 세 번째 각은 180°에서 빼서 자동으로 구해집니다 — 이 고정된 합계 속성이 바로 두 각(그리고 하나의 변)만 알아도 삼각형을 완전히 풀기에 충분한 정보가 되는 이유입니다.

흔한 실수

• 변의 길이 없이 세 각도만 입력하는 것. 세 각도만으로는 삼각형의 모양만 정해질 뿐 크기는 정해지지 않습니다 — 같은 세 각도를 공유하지만 크기가 다른 삼각형은 무한히 많습니다 — 그래서 단순한 모양이 아니라 실제 넓이와 변의 길이를 얻으려면 항상 최소 하나의 변 길이가 필요합니다.
• SAS 경우에서 어떤 각이 “낀각”인지 혼동하는 것. 코사인 법칙에서 중요한 것은 주어진 두 변 사이의 각입니다 — 삼각형의 다른 부분에 있는 각을 사용하면 진짜로 모호한 SSA 경우가 발생하며, 이 계산기는 추측하는 대신 이를 표시합니다.
• 임의의 양수 세 개가 삼각형을 이룰 수 있다고 가정하는 것. 삼각형 부등식을 만족하지 않는 (한 변이 나머지 두 변의 합과 같거나 더 긴) 길이 집합은 숫자를 어떻게 배열하든 실제 삼각형을 전혀 나타내지 않습니다.

알아두면 유용한 정보

• 더 큰 도형의 일부로 삼각형의 넓이나 변의 길이를 다루고 계신가요? 넓이 계산기는 삼각형 외에도 다양한 일반적인 2D 도형의 넓이를 다룹니다.
• 세 가지 알려진 삼각형 값 대신 두 좌표점 사이의 거리나 기울기가 필요하신가요? 거리·중점·기울기 계산기가 이를 직접 처리합니다.