이차방정식

x의 모든 값에 대해 ax² + bx + c = 0 풀기

이차방정식의 근의 공식은 방정식의 세 계수만을 이용해 ax² + bx + c = 0 형태의 모든 방정식을 x에 대해 풉니다. a, b, c를 입력하면 이 계산기는 방정식을 성립시키는 모든 x 값을 구합니다 — 답이 실수가 아니라 복소수가 되는 경우까지 포함해서입니다.

이차방정식은 정확히 세면 항상 정확히 두 개의 해를 가집니다: 서로 다른 두 실수, 두 번 세는 하나의 실수(“중근”), 또는 한 쌍의 복소수 중 하나입니다. 어느 경우에 해당하는지는 전적으로 판별식(제곱근 안에 있는 부분)의 부호에 달려 있습니다 — 이 계산기는 단순한 수치뿐 아니라 어느 경우에 해당하는지도 알려줍니다.

계산식

$\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (단, $\vA{a} \neq 0$)에 대해:

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

제곱근 안의 항 $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$를 판별식이라고 합니다:

계산 예시

$x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$)의 경우:

1. 판별식: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, 이는 양수이므로 서로 다른 두 실근이 존재합니다.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ 또는 $x = \frac{2}{2} = 1$.

검산: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$이고 $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — 두 해 모두 성립합니다.

고려해야 할 주요 요소

• 이차방정식의 해는 정확히 그래프(포물선)가 x축과 만나는 지점입니다. 서로 다른 두 실근은 포물선이 x축과 두 지점에서 만난다는 뜻이고, 중근은 (꼭짓점에서) 한 지점에서만 축에 닿는다는 뜻이며, 복소근은 포물선이 x축에 전혀 닿지 않고 완전히 위쪽이나 아래쪽에 머문다는 뜻입니다.
• 판별식만으로도 추가 계산 없이 해의 성질을 미리 알 수 있습니다. $b^2 - 4ac$가 양수인지, 0인지, 음수인지 확인하는 것만으로 나머지 공식을 마저 풀지 않고도 방정식이 서로 다른 두 실수 해를 갖는지, 하나의 중근을 갖는지, 아니면 복소켤레 한 쌍을 갖는지를 미리 알 수 있습니다.
• 이차방정식의 계수 a는 절대 0이 될 수 없으며, 그렇지 않으면 더 이상 이차방정식이 아닙니다. a = 0이면 $x^2$ 항이 완전히 사라지고 방정식은 이차식이 아니라 일차식(단순한 대수로 풀리는, 많아야 하나의 해를 갖는 방정식)이 됩니다 — 이것이 근의 공식이 a가 0이 아닐 때만 유효하고, 또 그때만 필요한 이유입니다.
• 실수 계수를 갖는 이차방정식에서 복소근은 항상 켤레쌍으로 나타납니다. 판별식이 음수일 때, 두 해는 항상 $p + qi$와 $p - qi$(실수 부분은 같고 허수 부분의 부호만 반대) 형태를 취합니다 — 이러한 쌍을 이루는 성질은 제곱근 안의 음수에 적용된 공식의 ±에서 직접 비롯되는 결과입니다.

흔한 실수

• ±를 잊고 하나의 근만 답하는 것. 이차방정식 근의 공식의 ± 부호는 두 가지 계산(하나는 +, 하나는 -)을 해야 함을 의미합니다 — 첫 번째 계산 후 멈추면 판별식이 정확히 0이 아닌 한 답의 절반을 놓치게 됩니다.
• 음수 판별식을 복소해가 아니라 “해 없음”으로 취급하는 것. 음수 판별식은 방정식에 실수 해가 없다는 뜻이지만, 여전히 두 개의 유효한 복소해를 가집니다 — 방정식이 풀 수 없는 것이 아니라 실수 범위 안에서만 풀 수 없는 것입니다.
• a = 0을 입력하고 이차방정식의 답을 기대하는 것. 0이 아닌 a 없이는 방정식이 이차식이 아니라 일차식이며, 공식의 2a로 나누는 부분이 정의되지 않습니다 — 일차방정식에는 대신 단순한 대수가 필요합니다.

알아두면 유용한 정보

• 전체 방정식을 풀기보다 제곱근이나 n제곱근만 필요하신가요? 제곱근·N제곱근 계산기은(는) 제곱근과 n제곱근을 직접 계산합니다.
• 지수만 따로 다루고 계신가요? 지수 계산기은(는) 거듭제곱과 근을 계산합니다.
• 이 방정식을 넘어 삼각함수, 로그, 기타 함수를 위한 더 폭넓은 계산기가 필요하신가요? 공학용 계산기 은(는) 다양한 과학 계산을 다룹니다.