최대공약수·최소공배수

계산 비교

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이번 계산의 입력값과 결과, 그리고 비교하신 추가 계산이 모두 포함됩니다.

GCF와 LCM 계산 방법

최대공약수(GCF, GCD라고도 함)는 여러 숫자를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수이고, 최소공배수(LCM)는 그 숫자들 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 수입니다. 두 개 이상의 자연수를 입력하면, 이 계산기가 즉시 두 값을 모두 구해줍니다.

계산 방법

최대공약수는 2,000년도 더 된 유클리드 호제법을 사용해 구합니다: 더 큰 수를 더 작은 수로 나누고, 나머지가 0이 될 때까지 큰 수를 나머지로 계속 교체합니다. 마지막으로 남은 0이 아닌 값이 최대공약수입니다.

최대공약수를 알면 두 수의 최소공배수는 다음과 같이 바로 구해집니다:

\text{LCM}(\vA{a}, \vB{b}) = \frac{\vA{a} \times \vB{b}}{\vC{\text{GCF}(\vA{a}, \vB{b})}}

세 개 이상의 숫자에 대해서는, 이 계산기가 목록 전체에 걸쳐 두 방법을 두 개씩 짝지어 적용합니다.

계산 예시

12와 18의 최대공약수와 최소공배수 구하기:

유클리드 호제법: 18 ÷ 12는 나머지 6을 남기고, 12 ÷ 6은 나머지 0을 남깁니다. 최대공약수는 $\vC{6}$ 입니다.
$\text{LCM}(\vA{12}, \vB{18}) = (12 \times 18) \div \vC{6} = 216 \div \vC{6} = 36$

고려해야 할 주요 요소

최대공약수가 1인 두 수는 “서로소”라고 부르며, 실제로 유용한 분류입니다. 최대공약수가 1이면 두 수는 1 외에 공통 인수를 전혀 갖지 않습니다 — 이는 암호학이나 정수론 같은 분야에서 중요하며, 이 경우 최소공배수는 단순히 두 수의 곱이 됩니다.
유클리드 호제법은 큰 숫자의 경우 모든 인수를 나열하는 것보다 훨씬 빠릅니다. 각 수의 모든 인수를 나열하고 비교해 최대공약수를 찾는 방법은 큰 숫자에서는 비현실적입니다 — 유클리드 호제법은 숫자가 아무리 커도 몇 단계 만에 답을 찾아내며, 이것이 2,000년 넘게 표준 방법으로 쓰이는 이유입니다.
최대공약수와 최소공배수는 동일한 두 수 계산을 반복 적용해 셋 이상의 숫자로 깔끔하게 확장됩니다. 두 수에 대한 공식을 목록 전체에 걸쳐 적용하는 방식(GCF(GCF(a,b), c) 및 이와 유사한 방식으로 LCM 계산)은 두 개념 모두를 임의 개수의 입력값으로 정확히 확장하며, 이 계산기가 두 개보다 긴 목록을 처리하는 방식이기도 합니다.
이 개념들은 순수 수학을 넘어 일정 조율이나 자원 분배 문제에서도 끊임없이 등장합니다. 분수를 약분하는 것 외에도, 최소공배수는 “두 개의 반복 이벤트가 다음에 언제 다시 겹치는지”(버스 시간표나 점멸등처럼)에 답하고, 최대공약수는 “나머지 없이 동일한 크기로 나눌 수 있는 가장 큰 그룹은 무엇인지”(동일한 개수의 묶음으로 물건을 나누는 것처럼)에 답합니다.

흔한 실수

어느 것이 GCF이고 어느 것이 LCM인지 혼동하는 것. 이름이 비슷해서 실수로 바꿔 쓰기 쉽습니다 — GCF는 항상 두 결과 중 더 작은 값이고(공약수이므로 가장 작은 입력값을 초과할 수 없음), LCM은 항상 더 큰 값입니다(공배수이므로 최소한 가장 큰 입력값만큼 큽니다).
GCF가 반드시 비교 대상 숫자 중 하나여야 한다고 가정하는 것. 위에서 설명했듯이, GCF는 모든 입력값을 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수입니다 — 12와 18의 경우 그것은 6이지 12나 18 자체가 아닙니다. 둘 다 입력값 중 적어도 하나를 나누어떨어지게 하더라도 말입니다.
유클리드 호제법을 사용하는 대신 큰 숫자의 모든 인수를 손으로 나열하는 것. 위에서 설명했듯이, 이는 숫자가 커질수록 느려지고 실수하기 쉬워집니다 — 이 계산기가 사용하는 유클리드 호제법은 크기에 관계없이 단 몇 단계 만에 같은 답을 찾습니다.
먼저 GCF로 나누지 않고 두 수를 곱해서 LCM을 구하는 것. 위에서 설명했듯이, 단순 곱셈은 두 수가 서로소일 때(GCF가 1일 때)만 올바른 LCM을 줍니다 — 공약수를 공유하는 숫자의 경우, GCF로 나누는 단계를 건너뛰면 실제 LCM의 배수가 나오지, LCM 자체는 나오지 않습니다.

알아두면 좋은 점

분수를 가장 간단한 형태로 약분하는 것은 정확히 GCF 계산입니다 — 분수 계산기는 이 계산기가 직접 계산하는 것과 동일한 GCF를 사용해 분수를 약분합니다.
분수를 더하거나 뺄 때 공통분모를 찾는 것은 정확히 LCM 계산입니다 — 반대 방향의 같은 관계입니다.
소인수분해 계산기와 비율 계산기는 둘 다 다른 각도에서 같은 공약수 개념에 의존합니다 — 하나는 숫자를 소수 구성 요소로 분해하고, 다른 하나는 비율을 가장 간단한 정수 형태로 줄입니다.

출처: 유클리드 호제법.

자주 묻는 질문

최대공약수(GCF)와 최소공배수(LCM)의 차이는 무엇인가요?

최대공약수(GCF, GCD라고도 함)는 목록에 있는 모든 숫자를 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수입니다. 최소공배수(LCM)는 목록에 있는 모든 숫자로 나누어떨어지는 가장 작은 수입니다. 최대공약수는 항상 입력값 중 가장 작은 수보다 작거나 같고, 최소공배수는 항상 가장 큰 수보다 크거나 같습니다.

최대공약수와 최소공배수는 어디에 쓰이나요?

최대공약수는 분수를 약분할 때 흔히 사용됩니다(분자와 분모를 최대공약수로 나누면 가장 간단한 형태가 됩니다). 최소공배수는 분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때 공통분모를 구하는 데 사용되며, 일정 관리 문제에서도 쓰입니다(예: '이 두 행사가 각각 4일, 6일 주기로 반복된다면, 다음번에 같은 날 겹치는 것은 언제인가?').

세 개 이상의 숫자에 대해서도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있나요?

네 — 쉼표, 공백 또는 줄바꿈으로 구분해 원하는 만큼 자연수를 입력하세요. 이 계산기는 두 개씩만이 아니라 목록 전체에 대한 최대공약수와 최소공배수를 구합니다.