확률

계산 비교

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사건의 확률을 단독으로 또는 결합해서 구하는 방법

확률은 어떤 사건이 얼마나 일어나기 쉬운지를 0(절대 일어나지 않음)에서 1(반드시 일어남) 사이의 숫자로 나타낸 것입니다. 유리한 경우의 수와 전체 경우의 수를 입력해 단일 사건의 확률과 그 여사건을 구하거나, 두 독립 사건의 확률을 입력해 둘 다 일어날 확률, 둘 중 하나라도 일어날 확률, 둘 다 일어나지 않을 확률을 구하세요.

계산식

단일 사건:

\vC{\text{확률}} = \frac{\text{유리한 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}

여사건(그 사건이 일어나지 않을 확률)은 항상 $1 - \vC{\text{확률}}$ 입니다.

두 독립 사건(한 사건이 일어나도 다른 사건이 일어날 확률이 변하지 않는 경우):

$P(\text{둘 다 일어남}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
$P(\text{둘 중 하나라도 일어남}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — 두 확률을 그대로 더하면 둘 다 일어나는 경우를 두 번 세게 되므로, 그 중복분을 한 번 다시 빼줍니다(포함-배제의 원리).
$P(\text{둘 다 일어나지 않음}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

계산 예시

단일 사건: 일반적인 6면 주사위에서 짝수의 눈이 나올 확률.

유리한 경우의 수: 전체 6가지 중 3가지(2, 4, 6): $3 \div 6 = \vC{50\%}$
여사건: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (홀수의 눈이 나올 확률)

두 독립 사건: 동전을 던져 앞면이 나오는 경우(P = 50%)와 주사위를 던져 6이 나오는 경우(P ≈ 16.67%):

P(둘 다) = 0.5 × 0.1667 ≈ 8.33%
P(둘 중 하나) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 ≈ 58.33%
P(둘 다 일어나지 않음) = 0.5 × 0.8333 ≈ 41.67%

고려해야 할 주요 요소

여기서 다루는 독립 사건 공식은 한 사건의 결과가 실제로 다른 사건에 영향을 주지 않을 때만 적용됩니다. 동전 던지기와 주사위 던지기는 전형적인 독립 사건입니다 — 하지만 카드 한 벌에서 카드를 다시 넣지 않고 두 장을 뽑는 것은 첫 장을 제거하면 두 번째 카드의 확률이 바뀌므로 독립이 아닙니다. 종속 사건에 이 공식을 적용하면 잘못된 결과가 나옵니다.
확률이 0이면 절대 일어나지 않음, 1이면 반드시 일어남을 뜻하며 — 실제 모든 확률은 이 두 극단 사이 어딘가에 있습니다. 이 0에서 1까지의 척도(또는 동등하게 0%에서 100%까지)는 확률과 통계 전반에서 통용되는 관례이며, 그래서 이 계산기의 결과는 항상 그 범위 안에 있습니다.
“도박사의 오류”는 이 계산기의 수학이 직접적으로 반박하는 흔한 오해입니다. 앞면이 여러 번 연속으로 나온 뒤 공정한 동전이 뒷면이 나올 “차례”라고 믿는 것은 독립성을 잘못 이해한 것입니다 — 이전에 무슨 일이 있었든 각 던지기는 정확히 같은 50%의 확률을 가지는데, 공정한 동전의 이전 결과는 다음 결과에 실제로 아무런 영향을 주지 않기 때문입니다.
고전적 확률(유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값)은 모든 경우가 똑같이 일어나기 쉽다고 가정합니다. 이 가정은 공정한 주사위나 공정한 동전에는 성립하지만, 모든 실제 상황에 성립하는 것은 아닙니다 — 무게가 한쪽으로 쏠린 주사위나 편향된 동전은 실제 관측된 빈도를 사용해야 하며, 이 단순한 경우의 수 세기 방식으로는 진짜 확률을 추정할 수 없습니다.

흔한 실수

실제로는 독립이 아닌 사건에 독립 사건 공식을 사용하는 것. 첫 번째 카드를 다시 넣지 않고 덱에서 두 장의 카드를 뽑는 것이 전형적인 예입니다 — 첫 장을 제거하면 두 번째 카드의 확률이 바뀌므로, 이를 독립으로 취급하면 실제 결합 확률을 과대평가하거나 과소평가하게 됩니다.
둘 중 하나라도 일어날 확률을 구하기 위해 단순히 P(A)와 P(B)를 더하는 것. 이렇게 하면 둘 다 일어나는 경우를 두 번 세게 됩니다 — 중복분은 한 번 다시 빼야 하며, 이것이 바로 위의 포함-배제 공식이 하는 일입니다.
연속된 결과 뒤에 공정한 동전이나 주사위가 특정 결과가 나올 “차례”라고 믿는 것. 이전 던지기에서 무슨 일이 있었든, 각 독립적인 던지기는 매번 정확히 같은 확률을 가집니다 — 이 오해(“도박사의 오류”)는 이 공식들이 의존하는 독립성 가정에 의해 직접 반박됩니다.

알아두면 유용한 정보

단일 확률이 아니라 전체 숫자 데이터셋으로 작업하고 계신가요? 통계 계산기 은(는) 평균, 중앙값, 최빈값, 표준편차를 계산합니다.
확률 대신 배열이나 선택의 경우의 수를 세어야 하시나요? 순열과 조합 계산기은(는) 순열과 조합을 계산합니다.
확률을 계산하는 대신 실제로 주사위를 굴려보고 싶으신가요? 주사위 굴리기 계산기 은(는) 원하는 면 수의 주사위를 원하는 개수만큼 굴립니다.

출처: 표준 확률 공식(고전적 확률 및 독립 사건 규칙).

자주 묻는 질문

'독립 사건'이란 무엇을 의미하나요?

두 사건이 독립적이라는 것은 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않는다는 뜻입니다 — 예를 들어 동전 던지기와 그와 별개인 주사위 던지기처럼요. 만약 한 사건이 다른 사건에 실제로 영향을 준다면(종속 사건), 이 공식들은 적용되지 않습니다.

'둘 중 하나라도 일어날 확률'을 구할 때 왜 P(A) x P(B)를 빼나요?

P(A)와 P(B)를 단순히 더하면 두 사건이 '모두' 일어나는 경우를 두 번 세게 됩니다 — 각 확률에서 한 번씩요. 겹치는 부분(P(A) x P(B))을 다시 빼줌으로써 이 중복 계산을 바로잡습니다. 이를 포함-배제의 원리라고 합니다.

확률에서 여사건이란 무엇인가요?

어떤 사건의 여사건이란 그 사건이 일어나지 않는 모든 경우를 뜻합니다. 사건은 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나이므로, 어떤 사건의 확률과 그 여사건의 확률을 더하면 항상 정확히 1(100%)이 됩니다.

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