선형 보간

계산 비교

다운로드

이번 계산의 입력값과 결과, 그리고 비교하신 추가 계산이 모두 포함됩니다.

두 알려진 점 사이의 값 추정하기

선형 보간법은 두 알려진 데이터 점 사이의 값을, 그 사이의 관계가 직선을 따른다고 가정 하여 추정합니다. 두 개의 알려진 점(x, y)과 추정을 원하는 x 값을 입력하면, 이 계산기는 대응하는 y를 구합니다.

계산식

\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

여기서 $(x_1, y_1)$ 과 $(x_2, y_2)$ 는 두 개의 알려진 점이며, $x$ 는 추정을 원하는 값입니다.

계산 예시

자동차가 2시간 시점에서 50마일, 5시간 시점에서 140마일에 있었습니다. 3.5시간 시점에는 어디에 있었을까요?

$y = 50 + (3.5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1.5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ 마일}}$

고려해야 할 주요 요소

두 점 사이를 보간하는 것이 그 범위를 벗어나 외삽하는 것보다 일반적으로 더 신뢰할 수 있습니다. 목표 x 값이 두 개의 알려진 점 사이에 있으면 실제로 관계가 관찰된 범위 안에 머물지만, 그 범위를 벗어난 목표는 동일한 직선 추세가 변함없이 계속된다고 가정하는 것이며 — 알려진 범위에서 멀어질수록 이 가정은 더 위험해집니다.
이 방법은 진정으로 선형인 관계에서는 정확하며, 그렇지 않은 경우에는 근사치일 뿐입니다. 일정한 속도, 고정된 비율, 또는 진정으로 직선 관계를 갖는 물리적 과정은 이 공식으로 정확한 답을 얻을 수 있지만 — 복리 성장이나 가속처럼 대부분의 실제 과정은 곡선을 그리므로, 두 알려진 점이 서로 멀리 떨어져 있을수록 직선 추정이 그 사이 어딘가에서 실제와 크게 다를 수 있습니다.
참조표(공학의 조견표, 증기표, 보험계리표 등)는 흔히 나열된 값들 사이에서 선형 보간에 의존합니다. 가능한 모든 입력값을 게시하는 대신, 표는 다루기 쉬운 수의 알려진 점을 나열하고 독자가 그 사이를 보간하도록 합니다 — 이는 이 기법의 가장 흔한 실용적 용도 중 하나입니다.
세 번째 알려진 점을 추가하면 선형성이 실제로 타당한 가정인지 확인할 수 있습니다. 알고 있는 세 번째 점이 다른 두 점을 잇는 직선에 가깝게 놓인다면 그 범위에서는 선형 보간이 아마도 신뢰할 만하며 — 그 직선에서 멀리 벗어난다면 기저 관계가 곡선을 그릴 가능성이 크므로 직선 추정을 더 신중하게 다뤄야 합니다.

흔한 실수

알려진 범위를 훨씬 벗어나 외삽하면서 결과를 보간과 같은 신뢰도로 취급하는 것. 두 알려진 점 밖의 목표값은 추세가 변함없이 계속된다고 가정합니다 — 이는 실제로 그 사이에 있는 값을 추정하는 것보다 훨씬 더 위험한 가정입니다.
실제 과정이 진짜로 선형인지 확인하지 않고 선형 관계를 가정하는 것. 복리 성장이나 가속 같은 과정은 직선을 따르지 않고 곡선을 그리므로, 특히 알려진 점에서 멀리 떨어진 경우 선형 추정이 크게 틀릴 수 있습니다.
어느 알려진 점이 어느 것인지 혼동하는 것. 공식에서 x1/y1과 x2/y2를 바꾸면 다른(잘못된) 기울기가 나옵니다 — 각 알려진 점의 x값과 y값이 올바르게 함께 입력되었는지 다시 확인하세요.
기저 관계가 선형이 아닐 때 서로 멀리 떨어진 두 알려진 점을 사용하는 것. 두 점 사이의 간격이 넓을수록 곡선이 이들을 연결하는 직선에서 벗어날 여지가 커집니다 — 더 가깝고 더 관련성 있는 알려진 점을 사용하면 일반적으로 더 신뢰할 수 있는 추정치를 얻을 수 있습니다.

알아두면 좋은 정보

두 개가 아니라 여러 데이터 점이 있고, 그 모두에 가장 잘 맞는 하나의 직선을 원하시나요? 최소제곱회귀 계산기 계산기가 그 더 넓은 경우를 다룹니다.
세 번째 점에서의 추정값이 아니라 두 점 사이의 기울기가 필요하신가요? 거리·중점·기울기 계산기 계산기가 이를 직접 다룹니다.

출처: 선형 보간법.

자주 묻는 질문

선형 보간법이란 무엇인가요?

선형 보간법은 두 알려진 데이터 점 사이의 관계가 직선을 따른다고 가정하여 그 사이의 미지값을 추정합니다. 자동차의 위치가 2시간 시점과 5시간 시점에 알려져 있다면, 선형 보간법은 속도가 일정하다고 가정하여 3.5시간 시점의 위치를 추정합니다.

보간법과 외삽법의 차이는 무엇인가요?

보간법은 알고 있는 두 점 사이에 있는 값을 추정하며, 일반적으로 신뢰할 수 있습니다. 외삽법은 그 범위 밖의 값을 추정하며, 실제로 관찰한 범위를 넘어서도 동일한 직선 추세가 계속된다고 가정합니다 -- 멀어질수록 더 위험한 가정입니다. 이 계산기는 결과가 실제로 어느 쪽인지 표시합니다.

선형 보간법이 정확하지 않은 경우는 언제인가요?

선형 보간법은 두 점 사이에 직선 관계가 있다고 가정합니다. 실제 관계가 곡선형이라면(복리, 인구 증가, 가속도 등) 직선 추정치가 크게 벗어날 수 있습니다 -- 특히 목표값이 알고 있는 두 점에서 멀수록 그렇습니다.

선형 보간법의 실제 활용 사례로는 어떤 것이 있나요?

제한된 수의 알려진 점만 나열하는 참조표(공학 조견표나 보험계리표 등)에서 값을 읽을 때, 시계열 데이터에서 누락된 값을 추정할 때, 그리고 컴퓨터 그래픽에서 색상이나 위치 같은 두 값 사이를 범위에 걸쳐 부드럽게 혼합할 때 흔히 사용됩니다.

제 데이터에 직선 추정이 타당한지 어떻게 알 수 있나요?

세 번째로 알고 있는 점이 있다면, 다른 두 점 사이에 그린 직선에 그 점이 얼마나 가까운지 확인해 보세요. 가깝게 일치한다면 그 범위에서 관계가 대체로 선형이라는 것을 시사하고, 큰 차이가 있다면 기저 관계가 곡선을 그린다는 것을 시사하므로 선형 보간 추정치를 더 신중하게 다뤄야 합니다.