样本量

求出调查所需的最小样本量

样本量确定用于计算一项调查需要多少受访者或观测值，才能在选定的置信水平下，将总体比例的估计误差控制在选定的误差范围之内。 选择一个置信水平、一个期望的误差范围，以及（如果有的话）一个预估比例，此计算器将在您收集任何一份回复之前，计算出所需的最小样本量。

这是先于置信区间计算器自身问题而出现的问题 — 那个计算器会告诉您，您已有的数据产生了多宽的区间；而这个计算器则告诉您，一开始应该收集多少数据，才能使所得区间不会宽于您愿意接受的范围。

如果您知道总体规模（您可能调查的人员或项目总数），输入它将应用有限总体校正，这在总体本身较小时能显著缩减所需的样本量。留空则假设为庞大或未知总体，这是更安全、更常见的情况。

计算公式

$$n_0 = \frac{\vA{z}^2 \times \vB{p}(1-\vB{p})}{\vC{e}^2}$$

其中 $\vA{z}$ 是所选置信水平对应的临界值，$\vB{p}$ 是预估比例（以小数表示），$\vC{e}$ 是期望的误差范围（以小数表示）。结果向上取整，因为样本不能包含零点几个受访者。

当已知总体规模 $\vD{N}$ 时，将应用有限总体校正：

$$n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0 - 1}{\vD{N}}}$$

当真实比例未知时，$\vB{p} = 0.5$（50%）是最保守的选择 — $p(1-p)$ 恰好在 50% 时达到最大值，这使得所需样本量达到最大（因此永远不会被低估）。

举例说明

在 95% 置信水平（z = 1.96）、期望误差范围为 ±5%、预估比例为 50%（保守默认值）的情况下：

1. 将 z 平方并乘以 p(1-p)：$\vA{1.96}^2 \times \vB{0.5} \times (1 - \vB{0.5}) \approx 0.9604$。
2. 除以 e 的平方：$0.9604 \div \vC{0.05}^2 = 384.16$。 3. 向上取整，因为样本不能包含零点几个受访者：$384.16 \rightarrow 385$。

对于一个庞大或未知的总体，您需要 385 名受访者。如果真实总体只有 1,000 人，有限总体校正会将其缩减为：

1. 用 n0 减去 1 并除以总体规模：$(384.16 - 1) \div \vD{1,000} \approx 0.38316$。
2. 加上 1：$1 + 0.38316 = 1.38316$。
3. 用 n0 除以该结果：$384.16 \div 1.38316 \approx 277.74 \rightarrow 278$。

一旦确定总体本身规模如此之小，仅需 278 名受访者即可。

需要考虑的关键因素

• 期望的误差范围越小，所需的样本量增长得不成比例地更大，而不是成比例地增大。 由于误差范 围在公式分母中是平方项，把误差范围减半，所需样本量大约会变为原来的四倍 — 这正是为什么非 常严格的误差范围（如 ±1%）所需的受访者人数，会比更常见的 ±5% 多得多。
• 更高的置信水平也会增加所需的样本量，但增幅不如收窄误差范围那么剧烈。 从 90% 提高到 95% 再到 99% 的置信水平，会增大公式中所用的临界 z 值，从而提高所需的样本量 — 置信水平与 样本量之间的具体权衡，是一项真实的规划决策，而不是一条固定的规则。
• 这个公式估算的是针对单一比例（例如「有百分之多少的人偏好 X」）的样本量，并非适用于所有 类型的统计问题。 估算一个数值型平均值（例如平均消费额），或检测两组之间的差异，都使用与 此相关但不同的样本量公式 — 本计算器专门针对比例估算这一最常见的调查场景。
• 有限总体校正只有在总体本身相对较小时，才能明显缩减所需的样本量。 对于一个庞大的总体 （数万人以上），该校正对所需样本量的影响可以忽略不计 — 这正是为什么调查方法学通常把「庞 大总体」和「未知总体」视为功能上等同的情况，二者都默认使用未经校正的公式。

常见错误

• 将总体规模输入为您计划联系的人数，而不是您实际抽样所依据的总体人数。 有限总体校正仅适用 于您可能调查的「总体」群体（例如某公司全部 1,000 名员工）— 输入您希望收集的回复数量会使该 计算失去意义。
• 假设较小的误差范围只需要略微增大样本量。 由于误差范围在公式中是平方项，将其减半会使所需 样本量大约变为原来的四倍 — 在没有考虑样本量成本的情况下规划严格的误差范围，是常见的意外。
• 将此计算器与置信区间计算器混淆。 此计算器回答「在收集数据之前我需要多少受访者」；另一个 计算器回答「我已收集的数据实际上有多精确」— 二者方向相反，不能互相替代。

实用小贴士

• 已经收集了调查回复，想知道您的结果实际上有多精确？置信区间计算器 可根 据真实数据计算出相应的误差范围。
• 需要从收集的回复中计算其他汇总统计量，例如平均值或标准差？统计计算器 可直 接处理此类计算。
• 想知道样本量与特定结果的概率之间有何关系？概率计算器 更全面地涵盖了单一 事件和组合事件的概率计算。