概率

如何求出单独或组合事件的概率

概率衡量一个事件发生的可能性，用 0（不可能）到 1（必然）之间的数字表示。 输入有利结果和总结果的数量，即可求出单一事件的概率及其补集；或输入两个独立事件的概率，求出两者都发生、至少一个发生，或都不发生的可能性。

计算公式

单一事件：

$$\vC{\text{概率}} = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$$

补集（该事件不发生的可能性）始终为 $1 - \vC{\text{概率}}$。

两个独立事件（其中一个事件的发生不会改变另一个事件发生的概率）：

• $P(\text{两者都发生}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{至少一个发生}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — 若直接将两者相加，会将两者都发生的重叠部分计算两次，因此需要减回一次（即容斥原理）。
• $P(\text{都不发生}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

举例说明

单一事件： 掷一枚标准 6 面骰子，掷出偶数。

1. 有利结果：6 个结果中的 3 个（2、4、6）：$3 \div 6 = \vC{50\%}$。
2. 补集：$1 - \vC{50\%} = 50\%$（掷出奇数）。

两个独立事件： 抛硬币正面朝上（P = 50%）且掷骰子掷出 6 点（P ≈ 16.67%）：

1. P(两者都发生) = 0.5 × 0.1667 ≈ 8.33%
2. P(至少一个发生) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 ≈ 58.33%
3. P(都不发生) = 0.5 × 0.8333 ≈ 41.67%

需要考虑的关键因素

• 这里的独立事件公式仅适用于一个事件的结果确实不会影响另一个事件的情况。 抛硬币和掷骰子 是典型的独立事件 — 但从一副牌中不放回地抽两张牌不是独立事件，因为抽走第一张牌会改变 第二张牌的概率。把这些公式套用到相关事件上会得出错误的结果。
• 概率为 0 表示不可能，为 1 表示必然 — 每一个真实的概率都落在这两个极端之间。 这种 0 到 1 的量表（等价于 0% 到 100%）是概率论和统计学中的通用惯例，这也是为什么本计算器的结果始终 落在这个范围内。
• 「赌徒谬误」是一种常见的误解，而本计算器的数学原理恰好直接反驳了它。 认为一枚均匀的硬 币在连续多次正面朝上之后「该」出现反面了，这是对独立性的误解 — 无论之前发生过什么，每次 抛掷的概率始终恰好是 50%，因为之前的抛掷结果对均匀硬币的下一次结果没有任何实际影响。
• 古典概率（有利结果数除以总结果数）假设每种结果的可能性都相等。 这一假设对均匀的骰子或 均匀的硬币成立，但并非适用于所有现实场景 — 一枚做过手脚的骰子或不均匀的硬币，需要使用实 际观测到的频率，而不是这种简单的计数方法，来估算其真实概率。

常见误区

• 对实际上并不独立的事件使用独立事件公式。 从一副牌中抽两张牌且不放回第一张就是一个典型 例子 — 抽走第一张牌会改变第二张牌的概率，因此把它们当作独立事件会高估或低估真实的组合概 率。
• 简单地把 P(A) 和 P(B) 相加来求至少一个发生的概率。 这会把两者都发生的情况计算两次 — 需要把重叠部分再减去一次，这正是上面容斥原理公式所做的事。
• 认为均匀的硬币或骰子在连续出现某个结果后”该”出现另一个结果了。 无论之前的抛掷结果如 何，每次独立的抛掷或掷骰概率都完全相同 — 这种误解（“赌徒谬误”）恰好与这些公式所依赖的独 立性假设直接矛盾。

实用小知识

• 需要处理一整套数字数据，而不是单一概率？统计计算器 可计算平均数、中位 数、众数和标准差。
• 需要计算排列或组合的数量，而不是概率？排列组合计算器 可计算排列 和组合数。
• 想亲自掷骰子试试，而不只是计算概率？骰子模拟器 可掷任意数量、任意面数的 骰子。