三角形

从三个已知值求解三角形

一个三角形完全由其 6 个定义值中的任意 3 个决定——即 3 条边长和 3 个内角——只要其中至少有一个是边。 输入您已知的任意 3 个值（边长可使用任何方便的单位——计算器会在内部进行转换），即可求出其余所有值：每条边、每个角、周长、面积，以及两种分类——按边长分类（等边、等腰或不等边）和按角度分类（锐角、直角或钝角）。使用”求解目标”下拉菜单选择哪个单一值作为标题答案显示；无论标题显示哪个值，所有值都会在”数值列表”下计算并列出。

这些是经典的几何情况：三边（SSS）、两边及其夹角（SAS）、两角及任意一边（ASA/AAS），或两边加一个不在它们之间的角（SSA）。最后这种情况在一般情况下确实存在歧义——相同的两条边长加上一个在其外部的角，有时可以补全为两个不同的有效三角形——因此此计算器会标记这一情况，并要求改为输入夹角或第三条边，而不是悄悄地猜测。

也并非任意三条边长都能真正构成三角形。“三角不等式”要求每条边都短于另外两条边之和——三根长度分别为 1、2 和 10 的吸管，无论如何调整角度，都无法在三个角处相接。此计算器会首先检查这一点，并在您输入的长度不满足要求时给出清晰的解释。

计算公式

面积由海伦公式求得，使用半周长 $\vD{s}$（周长的一半）：

$$\text{面积} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

每个角都由余弦定理求得，即求解给定边所对的角——例如，边 a 所对的角：

$$\text{角 A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

将边轮换后使用相同的公式，即可求出角 B 和角 C。三个角之和始终恰好为 180°。

举例说明

一个边长为 7、8 和 9 的三角形：

1. 半周长：$(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$。
2. 面积：$\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$。
3. 7 边所对的角：$\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$。
4. 8 边所对的角：$\approx 58.41°$。
5. 9 边所对的角：$\approx 73.40°$——最大的角，但仍小于 90°。

三条边长度各不相同，且每个角都小于 90°，因此这是一个不等边且锐角三角形。

需要考虑的关键因素

• 两套三角形分类系统（按边和按角）完全相互独立。 一个三角形总是恰好属于等边/等腰/不等边 三者之一，同时也恰好属于锐角/直角/钝角三者之一——这两个标签描述的是完全不同的属性，因此 一个三角形可以正确地同时拥有两个标签（例如「等腰且钝角」就是一个完全合理的组合）。
• SSA（边-边-角）情形是三角形几何中一个众所周知的真实歧义，而不是本计算器的怪癖。 给定 两条边和一个不在其间的角，在数学上有可能存在零个、一个或两个不同的三角形满足这些确切的测 量值——这是三角形几何的一个真实特性（在三角学课程中有时被称为「歧义情形」），这正是为什么 本计算器会要求改为输入其他组合的输入，而不是悄悄地猜测。
• 三角不等式是在进行任何进一步计算之前，快速检查给定三条边长能否构成一个真实三角形的方 法。 每条边都必须严格短于另外两条边之和——如果这项检查不通过，无论如何排列，这三条边长 都无法构成有效的三角形。
• 任何三角形的三个内角之和总是恰好为 180 度，这是一个固定的几何事实，可用作内部一致性检 查。 一旦知道其中两个角，第三个角就自动由 180° 减去这两个角求得——正是这种固定总和的特 性，使得仅知道两个角（再加上任意一条边）就足以完全求解一个三角形。

常见错误

• 只输入三个角而不输入任何边长。 仅凭三个角只能确定三角形的形状，而无法确定其大小——有无 数个三角形共享相同的三个角，但大小各不相同——因此要得到真正的面积和边长，而不仅仅是形状， 始终需要至少一条边长。
• 混淆 SAS 情形中哪个角是”夹角”。 对余弦定理起作用的是两条给定边之间的角——如果使用的是 三角形中其他位置的角，就会变成真正存在歧义的 SSA 情形，此计算器会将其标记出来，而不是直接 猜测。
• 假设任意三个正数都能构成一个三角形。 一组不满足三角不等式的长度（一条边等于或长于另外 两条边之和）根本无法描述一个真实的三角形，无论这些数字如何排列。

实用小知识

• 正在处理某个更大图形中三角形的面积或边长？面积计算器 涵盖了三角形之外多种常见 二维图形的面积计算。
• 需要的是两个坐标点之间的距离或斜率，而不是三角形的三个已知值？距离、中点与斜率计算器 可以直接处理这一点。