圆形

圆形几何计算的工作原理

圆的半径、直径、周长和面积在数学上都是相互关联的 — 知道其中任何一个，就能求出其余三个。 选择您已经知道的那一项，输入其数值，此计算器将立即求出其余的值。

公式

$$d = 2r \qquad C = 2\pi r = \pi d \qquad A = \pi r^{2}$$

其中 $r$ 是半径，$d$ 是直径，$C$ 是周长，$A$ 是面积。这四个公式没有单一的“输入”变量 — 每一个都可以同样容易地求解半径，或从半径出发 — 因此这里没有为它们上色，因为不能为某个变量分配一个在每个方向上都能一致适用的固定颜色。

从直径、周长或面积反向计算时，首先求出半径，然后从中推导出其他一切：

$$r = \frac{d}{2} \qquad r = \frac{C}{2\pi} \qquad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

需要考虑的关键因素

• 面积随半径的平方增长，而周长呈线性增长。 将圆的半径加倍，面积会变为四倍，但周长只会变为两倍——在比较两个不同大小的圆时值得记住这一点，因为这两个量的变化关系并不相同。
• π是一个无理数，因此这里的每个结果在技术上都是一个近似值。 本计算器内部使用高精度的π值，结果精确到许多小数位——但任何涉及π的计算在十进制形式下都无法做到数学意义上的“精确”，因为π的小数位既不终止也不循环。
• 本计算器假设的是一个完美的平面圆。 现实中的圆形物体（管道、车轮、盘子）可能存在细微的不规则性，使其真实面积或周长与按测得半径计算出的数学完美圆略有差异——对大多数实际用途而言已足够接近，但如果需要极高精度，这一点值得了解。
• 从直径出发通常比从半径出发更实用。 许多现实测量（包装上印的管道直径、量取的圆桌直径）更容易直接以直径的形式获得——本计算器接受直径作为起点，与接受半径同样方便。

举例说明

一个半径为 5 单位的圆：

1. 直径：$d = 2 \times 5 = 10$。
2. 周长：$C = 2\pi \times 5 \approx 31.42$。
3. 面积：$A = \pi \times 5^{2} \approx 78.54$。

常见错误

• 把直径输入到半径字段，或反过来。 这是最常见的错误——直径是半径的两倍，把两者混淆会使其他所有 结果都偏差 2 倍（面积则偏差 4 倍）。在选择输入什么之前，务必先确认自己实际拥有的是哪种测量值。
• 忘记面积用的是半径的平方，而不是两倍。 很容易想当然地以为宽度加倍的圆面积也会加倍，但 $A = \pi r^{2}$ 意味着面积随半径的平方增长——半径加倍的圆，面积会变为四倍，而不是两倍。
• 在不同测量值之间混用单位。 如果半径是用英寸测量的，而要比较的面积却以平方英尺为单位（或厘米 与平方米混用），除非先把所有数值换算成同一单位，否则数字对不上——本计算器并不知道您心里想的是 哪个单位，只知道您输入的数字。
• 误以为周长和面积会以相同的方式变化。 周长与半径成正比变化（半径加倍，周长也加倍），但面积 不是（半径加倍，面积会变为四倍）——具体原因请参见上文的“需要考虑的关键因素”。

实用小知识

现实世界的工程几乎从不需要用到π的太多位数，尽管π本身永无止境。 美国国家航空航天局（NASA）的喷气推进实验室（JPL）曾公开表示，仅需π的15位数字，就足以将可观测宇宙的周长计算到精确至一个氢原子宽度的程度——本计算器内部使用的精度远超任何实际圆形计算真正需要的水平，这也是为什么其结果对于任何现实用途而言实际上都是精确的。