الاحتمالات

إيجاد فرصة وقوع حدث، منفردًا أو مجتمعًا

يقيس الاحتمال مدى احتمالية وقوع حدث ما، كرقم بين 0 (مستحيل) و1 (مؤكد). أدخل عدد النتائج المواتية والإجمالية لإيجاد احتمال حدث واحد ومتممه، أو أدخل احتمالات حدثين مستقلين لإيجاد فرصة حدوث كليهما، أو حدوث أحدهما، أو عدم حدوث أي منهما.

الصيغة

حدث واحد:

$$\vC{\text{الاحتمال}} = \frac{\text{النتائج المواتية}}{\text{إجمالي النتائج}}$$

المتمم (فرصة عدم حدوث الحدث) هو دائمًا $1 - \vC{\text{الاحتمال}}$.

حدثان مستقلان (حيث لا يغيّر حدوث أحدهما فرصة حدوث الآخر):

• $P(\text{حدوث كليهما}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{حدوث أحدهما}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — جمع الاثنين مباشرة سيحسب التداخل مرتين حيث يحدث كلاهما، لذا يُطرح مرة أخرى (مبدأ الشمول والاستبعاد).
• $P(\text{عدم حدوث أي منهما}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

مثال محلول

حدث واحد: الحصول على رقم زوجي عند رمي نرد قياسي ذي 6 أوجه.

1. النتائج المواتية: 3 (2، 4، 6) من أصل 6: $3 \div 6 = \vC{50\%}$.
2. المتمم: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (الحصول على رقم فردي).

حدثان مستقلان: قذف عملة والحصول على الوجه (P = 50%) ورمي نرد والحصول على 6 (P ≈ 16.67%):

1. P(كليهما) = 0.5 × 0.1667 ≈ 8.33%
2. P(أحدهما) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 ≈ 58.33%
3. P(لا شيء منهما) = 0.5 × 0.8333 ≈ 41.67%

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• تنطبق صيغ الأحداث المستقلة هنا فقط عندما لا تؤثر نتيجة حدث ما فعليًا على الآخر. قذف عملة ورمي نرد مثالان كلاسيكيان لأحداث مستقلة — لكن سحب بطاقتين من مجموعة أوراق بدون إرجاع ليس مستقلًا، لأن إزالة البطاقة الأولى تغيّر احتمالات البطاقة الثانية. تطبيق هذه الصيغ على أحداث غير مستقلة يعطي نتيجة غير صحيحة.
• احتمال 0 يعني مستحيل و1 يعني مؤكد — كل احتمال حقيقي يقع في مكان ما بين هذين الطرفين. هذا المقياس من 0 إلى 1 (أو ما يعادله 0% إلى 100%) هو الاصطلاح العالمي عبر الاحتمال والإحصاء، وهذا هو سبب أن نتائج هذه الحاسبة تقع دائمًا ضمن ذلك النطاق.
• “مغالطة المقامر” مفهوم خاطئ شائع تتناقض معه رياضيات هذه الحاسبة مباشرة. الاعتقاد بأن عملة عادلة “حان دورها” للحصول على كتابة بعد عدة نتائج صورة متتالية يسيء فهم الاستقلالية — كل قذفة لها نفس احتمال 50% بالضبط بغض النظر عما حدث من قبل، لأن القذفات السابقة ليس لها تأثير فعلي على نتيجة العملة العادلة التالية.
• يفترض الاحتمال الكلاسيكي (النتائج المواتية مقسومة على إجمالي النتائج) أن كل نتيجة محتملة بالتساوي. ينطبق هذا الافتراض على نرد عادل أو عملة عادلة، لكن ليس على كل سيناريو واقعي — سيحتاج نرد مثقل أو عملة منحازة إلى ترددات ملاحظة فعلية بدلاً من طريقة العد البسيطة هذه لتقدير احتمالاتها الحقيقية.

أخطاء شائعة

• استخدام صيغ الأحداث المستقلة على أحداث ليست مستقلة فعليًا. سحب بطاقتين من مجموعة أوراق بدون إرجاع الأولى مثال كلاسيكي — إزالة البطاقة الأولى تغيّر احتمالات البطاقة الثانية، لذا فإن التعامل معهما كمستقلين يبالغ في تقدير الاحتمال المشترك الحقيقي أو يقلل منه.
• جمع P(A) وP(B) ببساطة لإيجاد فرصة حدوث أحدهما. هذا يحسب مرتين الحالة التي يحدث فيها كلاهما — يجب طرح التداخل مرة أخرى، وهذا بالضبط ما تفعله صيغة الشمول والاستبعاد أعلاه.
• الاعتقاد بأن عملة أو نردًا عادلين “حان دورهما” لنتيجة معينة بعد سلسلة من النتائج. كل قذفة أو رمية مستقلة لها نفس الاحتمال بالضبط في كل مرة، بغض النظر عما حدث في القذفات السابقة — هذا المفهوم الخاطئ (“مغالطة المقامر”) تتناقض معه مباشرة فرضية الاستقلالية التي تعتمد عليها هذه الصيغ.

معلومات مفيدة

• تتعامل مع مجموعة بيانات كاملة من الأرقام بدلاً من احتمال واحد؟ حاسبة الإحصاء يحسب المتوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري.
• تحتاج إلى عد الترتيبات أو الاختيارات بدلاً من احتمال؟ حاسبة التباديل والتوافيق يحسب التباديل والتوافيق.
• تريد تجربة رمي نرد حقيقي بدلاً من مجرد حساب الاحتمالات؟ أداة رمي النرد يرمي أي عدد من النرد بأي عدد من الأوجه.