التباديل والتوافيق

حساب الترتيبات والاختيارات من مجموعة

يحسب التبديل (nPr) عدد الطرق لترتيب r عناصر من أصل n حيث يهم الترتيب، بينما يحسب التوفيق (nCr) عدد الطرق لاختيار r عناصر من أصل n حيث لا يهم الترتيب. أدخل إجمالي عدد العناصر (n) وعدد ما تختاره (r)، ويجد هذا الحاسبة كلتا الإجابتين المترابطتين دفعة واحدة.

الصيغ

• التباديل: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — وهو ما يعادل حاصل ضرب $\vB{r}$ من الأرقام التنازلية بدءًا من $\vA{n}$: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$.
• التوافيق: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — نفس عدد التباديل، مقسومًا على $\vB{r}!$ من الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيب نفس تلك العناصر الـ $\vB{r}$ (لأن الترتيب لا يهم في التوفيق).

مثال محلول

اختيار 3 عناصر من مجموعة من 10، حيث يهم الترتيب (تباديل):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

نفس الاختيار حيث لا يهم الترتيب (توافيق):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

فحص من واقع الحياة

احتمالات مطابقة جميع الأرقام الستة في سحب يانصيب “6 من 49” هي 1 من C(49,6) — وهي بالضبط 13,983,816 — لأن ترتيب سحب الأرقام لا يغيّر ما إذا كنت قد فزت أم لا.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• ما إذا كان الترتيب مهمًا هو السؤال الوحيد الذي يحدد الصيغة المطبَّقة. ترتيب الفائزين بالميداليات على المنصة (المركز الأول والثاني والثالث مهم) مسألة تباديل، بينما اختيار أي 3 أشخاص يشكّلون لجنة (بدون ترتيب) مسألة توافيق — تحديد هذا الفرق بشكل صحيح هو المصدر الأكثر شيوعًا للخطأ عند تطبيق هذه الصيغ.
• التوافيق تنتج دائمًا عددًا مساويًا أو أصغر من التباديل لنفس n وr. بما أن التوفيق يجمع كل ترتيب ممكن لنفس عناصر r في عدد واحد، فإن C(n,r) هو دائمًا P(n,r) مقسومًا على r! — تتطابق القيمتان تمامًا فقط عندما تكون r تساوي 0 أو 1، لأنه لا توجد سوى طريقة واحدة لترتيب 0 أو 1 عنصر بغض النظر عن الترتيب.
• يزداد كل من عدد التباديل والتوافيق بسرعة هائلة مع زيادة n وr. هذا النمو المتفجر (يُسمى الانفجار التوافقي) هو بالضبط سبب أن احتمالات نمط اليانصيب تصبح صغيرة بشكل فلكي مع زيادة متواضعة فقط في عدد الأرقام المسحوبة منها — الانتقال من يانصيب “6 من 49” إلى يانصيب “6 من 59”، على سبيل المثال، يزيد الاحتمالات سوءًا بشكل ملموس رغم أن المجموعة تكبر بـ 10 أرقام فقط.
• تفترض هذه الصيغ أن كل عنصر مميز ولا يمكن اختيار أي منها أكثر من مرة. سيناريو يسمح باختيارات متكررة (مثل رمز PIN من 4 أرقام يمكن أن تتكرر فيه الأرقام) يستخدم صيغة عد مختلفة تمامًا — تحقق دائمًا مما إذا كان التكرار مسموحًا به قبل تطبيق صيغتي nPr/nCr القياسيتين هنا.

أخطاء شائعة

• استخدام عدد التباديل عندما لا يهم الترتيب فعليًا، أو العكس. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا — اسأل دائمًا أولاً عما إذا كان تبديل عنصرين مختارين سيُحتسب كنتيجة مختلفة قبل اختيار صيغة، بدلاً من التخمين استنادًا إلى صياغة المسألة.
• نسيان أن التوافيق لا تكون أبدًا أكبر من التباديل لنفس n وr. إذا ظهر عدد التوافيق أكبر من عدد التباديل المقابل لنفس المدخلات، فهناك خطأ في الإدخال — التوافيق تقسّم عدد التباديل، ولا تزيده أبدًا.
• تطبيق هذه الصيغ على موقف يسمح باختيارات متكررة. تفترض كلتا الصيغتين أن كل عنصر يمكن اختياره مرة واحدة كحد أقصى — المسألة التي تسمح بالتكرار (مثل توليد رمز PIN من 4 أرقام) تحتاج نهجًا مختلفًا تمامًا للعد، وليس nPr أو nCr.

من المفيد معرفته

• تريد حساب احتمالات نتيجة معينة فعليًا، وليس مجرد عد الاحتمالات؟ حاسبة الاحتمالات يحوّل عدد التوافيق أو التباديل إلى احتمال فعلي.
• تعمل على مجموعة بيانات كاملة بدلاً من مجرد عد الترتيبات؟ حاسبة الإحصاء يحسب المتوسط والانحراف المعياري وأرقامًا ملخصة أخرى من قائمة أرقام.
• تحتاج إلى تبسيط نسبة أو إيجاد مقام مشترك كجزء من مسألة تركيبات ذات صلة؟ حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر يجد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام.