المثلث

حل مثلث من أي ثلاث قيم معروفة

يتحدد المثلث بالكامل بأي 3 من قيمه المُعرِّفة الستة — أضلاعه الثلاثة وزواياه الداخلية الثلاث — طالما أن واحدة منها على الأقل ضلع. أدخل أيًا من الـ 3 التي تعرفها بالفعل (بأي وحدة مناسبة للأضلاع — يحوّل الحاسبة داخليًا) ويحل الباقي: كل ضلع، كل زاوية، المحيط، المساحة، وتصنيفان — حسب أطوال الأضلاع (متساوي الأضلاع أو متساوي الساقين أو مختلف الأضلاع) وحسب الزوايا (حاد الزوايا أو قائم الزاوية أو منفرج الزاوية). استخدم القائمة المنسدلة “الحل لإيجاد” لاختيار القيمة الواحدة التي تُعرض كإجابة رئيسية؛ تُحسب كل قيمة وتُدرج تحت “الأرقام” بغض النظر عن أيها تصدرت العرض.

هذه هي الحالات الهندسية الكلاسيكية: ثلاثة أضلاع (SSS)، أو ضلعان والزاوية بينهما (SAS)، أو زاويتان وأي ضلع (ASA/AAS)، أو ضلعان وزاوية ليست بينهما (SSA). تلك الحالة الأخيرة غامضة فعليًا بشكل عام — يمكن أحيانًا إكمال نفس طولي الضلعين وزاوية خارجهما إلى مثلثين مختلفين صالحين — لذا يُشير هذا الحاسبة إلى ذلك ويطلب الزاوية المحصورة أو الضلع الثالث بدلاً من التخمين بصمت.

ليست كل ثلاثة أطوال أضلاع يمكن أن تشكل مثلثًا فعليًا أيضًا. تتطلب “متباينة المثلث” أن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين — لا يمكن ترتيب ثلاثة قشات شرب بأطوال 1 و2 و10 لتلتقي عند ثلاث زوايا، بغض النظر عن كيفية إمالتها. يتحقق هذا الحاسبة من ذلك أولاً ويوضح بوضوح إذا كانت الأطوال التي أدخلتها لا تعمل.

الصيغة

تأتي المساحة من صيغة هيرون، باستخدام نصف المحيط $\vD{s}$ (نصف المحيط):

$$\text{المساحة} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

تأتي كل زاوية من قانون جيب التمام، محلولة للزاوية المقابلة لضلع معين — على سبيل المثال، الزاوية المقابلة للضلع a:

$$\text{الزاوية A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

نفس الصيغة، مع تدوير الأضلاع، تعطي الزاويتين B وC. تجمع الزوايا الثلاث دائمًا إلى 180° بالضبط.

مثال محلول

مثلث بأضلاع 7 و8 و9:

1. نصف المحيط: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. المساحة: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$.
3. الزاوية المقابلة للضلع 7: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$.
4. الزاوية المقابلة للضلع 8: $\approx 58.41°$.
5. الزاوية المقابلة للضلع 9: $\approx 73.40°$ — أكبر زاوية، لكنها لا تزال أقل من 90°.

الأضلاع الثلاثة كلها بأطوال مختلفة وكل زاوية أقل من 90°، لذا فإن هذا المثلث مختلف الأضلاع وحاد الزوايا.

عوامل رئيسية يجب مراعاتها

• نظاما تصنيف المثلث (حسب الأضلاع وحسب الزوايا) مستقلان تمامًا عن بعضهما. يكون المثلث دائمًا واحدًا بالضبط من متساوي الأضلاع/متساوي الساقين/مختلف الأضلاع وواحدًا بالضبط من حاد الزوايا/ قائم الزاوية/منفرج الزاوية — يصف هذان التصنيفان خاصيتين مختلفتين فعليًا، لذا يحصل المثلث بشكل صحيح على كلا التصنيفين معًا (مثل “متساوي الساقين ومنفرج الزاوية” مجموعة صالحة تمامًا).
• حالة SSA (ضلع-ضلع-زاوية) غموض حقيقي معروف جيدًا في هندسة المثلثات، وليست خاصية غريبة في هذه الحاسبة. بمعرفة ضلعين وزاوية غير محصورة، من الممكن رياضيًا أن يستوفي صفر أو مثلث واحد أو مثلثان مختلفان تلك القياسات بالضبط — هذه خاصية حقيقية لهندسة المثلثات (تُسمى أحيانًا “الحالة الغامضة” في دورات المثلثات)، وهذا سبب طلب هذه الحاسبة مجموعة مختلفة من المدخلات بدلًا من التخمين بصمت.
• متباينة المثلث طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت ثلاثة أطوال معينة يمكن أن تشكل مثلثًا حقيقيًا قبل إجراء أي حسابات أخرى. يجب أن يكون كل ضلع أقصر تمامًا من مجموع الضلعين الآخرين — إذا فشل هذا التحقق، لا يوجد مثلث صالح بتلك الأطوال الثلاثة، بغض النظر عن كيفية ترتيبها.
• تجمع الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث دائمًا إلى 180 درجة بالضبط، حقيقة هندسية ثابتة تُستخدم كفحص اتساق داخلي. بمجرد معرفة زاويتين، تُحدَّد الزاوية الثالثة تلقائيًا بالطرح من 180° — هذه الخاصية ذات المجموع الثابت هي بالضبط سبب كون معرفة زاويتين فقط (بالإضافة إلى أي ضلع واحد) معلومة كافية لحل المثلث بالكامل.

أخطاء شائعة

• إدخال ثلاث زوايا بدون أي طول ضلع على الإطلاق. ثلاث زوايا وحدها تحدد فقط شكل المثلث، وليس حجمه — توجد مثلثات لا نهائية تشترك في نفس الزوايا الثلاث لكنها تكبر أو تصغر — لذا يلزم دائمًا طول ضلع واحد على الأقل للحصول على مساحة وأطوال أضلاع فعلية، وليس مجرد شكل.
• الخلط بين الزاوية “المحصورة” في حالة SAS. الزاوية بين الضلعين المعطيين هي التي تهم في قانون جيب التمام — زاوية من مكان آخر في المثلث تنتج حالة SSA الغامضة فعليًا بدلاً من ذلك، والتي يشير إليها هذا الحاسبة بدلاً من التخمين.
• افتراض أن أي ثلاثة أرقام موجبة يمكن أن تشكل مثلثًا. مجموعة من الأطوال تفشل في متباينة المثلث (ضلع بطول يساوي أو أطول من الضلعين الآخرين مجتمعين) لا تصف مثلثًا حقيقيًا على الإطلاق، بغض النظر عن كيفية ترتيب الأرقام.

معلومات مفيدة

• تعمل على مساحة مثلث أو أطوال أضلاعه كجزء من شكل أكبر؟ حاسبة المساحة يغطي المساحة لمجموعة من الأشكال ثنائية الأبعاد الشائعة إلى جانب المثلثات.
• تحتاج المسافة أو الميل بين نقطتي إحداثيات بدلاً من ثلاث قيم مثلث معروفة؟ حاسبة المسافة ونقطة المنتصف والميل يتعامل مع ذلك مباشرة.