انحدار المربعات الصغرى

ملاءمة خط عبر نقاط بيانات متناثرة

يجد انحدار المربعات الصغرى الخط المستقيم الوحيد الذي يلائم بشكل أفضل مجموعة متناثرة من نقاط البيانات. أدخل قائمة من أزواج x, y — زوج واحد لكل سطر — وستجد هذه الحاسبة ميل ومقطع الخط، بالإضافة إلى مدى قوة اتباع النقاط لذلك الخط فعليًا.

الصيغة

$$\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}$$ $$\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}$$

حيث $m$ هو الميل، و$b$ هو المقطع، و$n$ هو عدد نقاط البيانات — يصفان معًا الخط $y = mx + b$ الذي يُقلل المسافة التربيعية الإجمالية لكل نقطة عن الخط.

مثال محلول

ملاءمة خط عبر (1, 1) و**(2, 2)** و**(3, 4)**:

1. $m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1.5}$

2. $b = \frac{7 - 1.5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0.667}$ — إذن الخط الملائم هو $y = 1.5x - 0.667$، بمعامل ارتباط يبلغ حوالي $0.98$.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• معامل ارتباط قوي لا يعني بالضرورة أن x يسبب y فعليًا. يمكن أن يكون متغيران مرتبطين بقوة لأن أحدهما يؤثر حقًا على الآخر، أو لأن كليهما مدفوعان بعامل ثالث، أو بمحض الصدفة في مجموعة بيانات صغيرة — يصف الارتباط قوة علاقة خطية، وليس السبب وراءها.
• تفترض هذه الطريقة أن العلاقة الحقيقية خطية، وهذا ليس دائمًا الافتراض الصحيح. إذا كان تشتت نقاط يتبع فعليًا منحنى، فإن فرض خط مستقيم عبره يمكن أن يُنتج خطًا “الأفضل ملاءمة” تقنيًا لكنه لا يزال يصف البيانات بشكل سيء — رسم النقاط بصريًا قبل الوثوق بالملاءمة ممارسة جيدة.
• يمكن لنقطة واحدة غير عادية (قيمة متطرفة) أن تجذب الخط الملائم نحوها بشكل غير متناسب. بما أن المربعات الصغرى تُقلل المسافات المُربَّعة، فإن نقطة بعيدة عن الاتجاه العام تُساهم في الملاءمة أكثر بكثير من نقطة قريبة منه — مجموعة بيانات صغيرة بقيمة متطرفة واحدة حساسة بشكل خاص لهذا.
• عادةً ما تُنتج نقاط بيانات أكثر ملاءمة أكثر موثوقية، مع بقاء كل شيء آخر ثابتًا. يمكن لخط مُلائم عبر 3-4 نقاط فقط (كما في المثال المحلول) أن يبدو مقنعًا لكنه يحمل عدم يقين أكبر بكثير من نفس العلاقة المقاسة عبر عشرات النقاط — قوة الارتباط وحدها لا تلتقط كمية البيانات التي تدعم الملاءمة فعليًا.

الأخطاء الشائعة

• معاملة معامل ارتباط مرتفع كدليل على السببية. قيمة r القوية تُظهر فقط أن النقاط تتجمع بإحكام حول خط — لا تخبرنا بشيء عن ما إذا كان أحد المتغيرين يسبب فعليًا تغيرات في الآخر.
• ملاءمة خط مستقيم لبيانات منحنية فعليًا. تُعيد المربعات الصغرى دائمًا ميلاً ومقطعًا، حتى عندما تصف الملاءمة الخطية النمط الأساسي بشكل سيء — ارسم النقاط أولاً، أو تحقق مما إذا كان معامل الارتباط منخفضًا بشكل مفاجئ، قبل الوثوق بالنتيجة.
• استخدام عدد قليل جدًا من نقاط البيانات ومعاملة الملاءمة كموثوقة. يمكن لخط عبر 3-4 نقاط فقط أن يبدو مقنعًا لكنه يحمل عدم يقين أكبر بكثير من نفس العلاقة المقاسة عبر عشرات النقاط.
• السماح لقيمة متطرفة واحدة بالسيطرة على الملاءمة دون ملاحظة ذلك. بما أن المربعات الصغرى تُقلل المسافات المُربَّعة، يمكن لنقطة بعيدة أن تجذب الخط بأكمله نحوها — يستحق التحقق مما إذا كانت إزالة نقطة غير عادية تُغيّر النتيجة بشكل كبير.

معلومات مفيدة

• تحتاج إلى تقدير قيمة بين نقطتين معروفتين بدلاً من ملاءمة خط اتجاه عبر نقاط كثيرة؟ تغطي حاسبة حاسبة الاستيفاء الخطي تلك الحالة الأكثر مباشرة.
• تريد رؤية كيف تقارن قيمة واحدة محددة بالانتشار العام لمجموعة بيانات؟ تقيس حاسبة حاسبة درجة Z ذلك بالضبط.
• تعمل مع نفس قائمة الأرقام لإحصاءات ملخصة أوسع؟ تغطي حاسبة حاسبة الإحصاء المتوسط والوسيط والانحراف المعياري.