فترة الثقة

كيف تُحسب فترة الثقة

فترة الثقة هي نطاق من القيم، مبني حول متوسط عينة نفسها، يحتمل أن يحتوي على متوسط السكان الحقيقي. أدخل متوسط عينة وانحرافها المعياري وحجمها، اختر مستوى ثقة، وستجد هذه الحاسبة النطاق الذي يقع فيه على الأرجح متوسط السكان الفعلي.

“فترة ثقة 95%”، على سبيل المثال، تعني أنه إذا كررت نفس عملية أخذ العينات عدة مرات، فإن حوالي 95% من الفترات الناتجة ستحتوي على متوسط السكان الحقيقي. هذا لا يعني أن هناك فرصة بنسبة 95% أن يقع المتوسط الحقيقي داخل هذه الفترة المحددة الواحدة — وهي طريقة شائعة وغير صحيحة تقنيًا يعبّر بها الناس عن ذلك. تنشر الفترة الأوسع (مستوى ثقة أعلى) شبكة أوسع ومن المرجح أكثر أن تحتوي على المتوسط الحقيقي؛ الفترة الأضيق أكثر دقة لكنها أقل يقينًا.

الصيغة

$$\vE{\text{الخطأ المعياري}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{هامش الخطأ}} = \vC{z} \times \vE{\text{الخطأ المعياري}}$$ $$\text{فترة الثقة} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{هامش الخطأ}}$$

حيث $\vA{s}$ هو الانحراف المعياري للعينة، و$\vB{n}$ هو حجم العينة، و$\vC{z}$ هي القيمة الحرجة لمستوى الثقة المختار (يُبحث عنها من التوزيع الطبيعي القياسي)، و$\vD{\bar{x}}$ هو متوسط العينة. حجم العينة الأكبر يُقلّص الخطأ المعياري — وبالتالي الفترة بأكملها — لأن المزيد من البيانات يُعطي تقديرًا أكثر دقة للمتوسط الحقيقي.

مثال محلول

عينة من 25 عنصرًا لها متوسط 100 وانحراف معياري 15، عند مستوى ثقة 95% (قيمة حرجة z = 1.96):

1. الخطأ المعياري: $\vE{\text{الخطأ المعياري}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. هامش الخطأ: $\vF{\text{هامش الخطأ}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$.
3. فترة الثقة: $\text{فترة الثقة} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94.12, 105.88]$.

لذا فإن متوسط السكان الحقيقي على الأرجح (بثقة 95%) يقع في مكان ما بين 94.12 و105.88.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• فترة الثقة لا تقول شيئًا عن كيفية جمع العينة. يفترض الحساب هنا أن العينة عشوائية وممثلة حقًا للمجتمع — طريقة أخذ عينة متحيزة أو غير عشوائية يمكن أن تُنتج فترة ثقة تبدو دقيقة لكنها متمركزة حول قيمة خاطئة تمامًا، وهي مشكلة لا يمكن لهذه الصيغة اكتشافها أو تصحيحها.
• تفترض الفترة أن البيانات الأساسية موزعة توزيعًا طبيعيًا تقريبيًا على الأقل، أو أن العينة كبيرة بما يكفي لتطبيق نظرية النهاية المركزية. بالنسبة لعينة صغيرة من توزيع منحرف بشدة، يصبح كل من تقريب توزيع z وتوزيع t أقل موثوقية.
• فترة الثقة وهامش الخطأ المُبلَّغ عنه في استطلاع رأي يصفان نفس الفكرة الأساسية. التقرير الإخباري الذي يذكر “هامش خطأ يبلغ زائد أو ناقص 3 نقاط مئوية” عند مستوى ثقة معين (غالبًا 95%) يصف بالضبط الفترة التي تحسبها هذه الحاسبة، بصياغة مختلفة فقط.
• الأضيق ليس دائمًا أفضل إذا كان على حساب الثقة. فترة أضيق عند مستوى ثقة أقل (لنقل 80% بدلاً من 95%) أكثر دقة لكنها أقل احتمالاً لاحتواء القيمة الحقيقية فعليًا — المفاضلة الصحيحة بين الدقة والثقة تعتمد على الغرض من استخدام التقدير.

أخطاء شائعة

• تفسير “ثقة 95%” على أنها “احتمال 95% أن يكون المتوسط الحقيقي داخل هذه الفترة.” بمجرد جمع العينة فعليًا وحساب الفترة، فإن متوسط السكان الحقيقي إما موجود بداخلها أو لا — لم يعد هناك احتمال للحديث عنه. الـ 95% تصف السلوك طويل المدى للطريقة عبر عينات متكررة عديدة، وليس هذه النتيجة المحددة الواحدة.
• تطبيق صيغة توزيع z هذه على عينة صغيرة دون التحقق من الافتراضات. يفترض توزيع z إما عينة كبيرة (بشكل تقليدي حجم n حوالي 30 أو أكثر) أو انحرافًا معياريًا معروفًا للسكان. العينة الصغيرة بانحراف معياري مقدَّر فقط يجب أن تستخدم تقنيًا توزيع t بدلاً من ذلك، والذي ينتج فترة أوسع نوعًا ما — وأكثر صدقًا.
• الخلط بين فترة الثقة ونطاق البيانات الخام. تصف الفترة عدم اليقين حول متوسط السكان، وليس مكان وقوع نقاط البيانات الفردية — يمكن أن يكون لمجموعة البيانات قيم منتشرة أوسع بكثير من فترة ثقتها بينما تبقى الفترة على المتوسط نفسه ضيقة، خاصة مع عينة كبيرة.

من المفيد معرفته

نظرًا لأن الخطأ المعياري يتقلص مع الجذر التربيعي لحجم العينة وليس حجم العينة نفسه، فإن تقليل هامش الخطأ إلى النصف يعني بشكل عام مضاعفة حجم العينة أربع مرات تقريبًا، وليس مجرد مضاعفته — تفصيل يهم عند التخطيط لحجم استطلاع أو تجربة يحتاجها فعليًا. هذا أيضًا سبب قدرة استطلاعات الرأي التي تضم بضع مئات فقط من المستجيبين على الإبلاغ عن هامش خطأ ضيق بشكل محترم: بمجرد أن تصل العينة إلى بضع مئات، فإن علاقة الجذر التربيعي تعني أن كل مستجيب إضافي يشتري دقة أقل تدريجيًا، لذا نادرًا ما يرى الباحثون قيمة في دفع أحجام العينات إلى عشرات الآلاف فقط لحلاقة جزء من نقطة عن الهامش.