الحجم

إيجاد الحجم ومساحة السطح من الأبعاد الأساسية

الحجم هو مقدار الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يشغله جسم صلب، ولكل شكل شائع صيغته الخاصة لإيجاده من بضعة قياسات أساسية. اختر شكلاً — متوازي مستطيلات، أو مكعب، أو كرة، أو أسطوانة، أو مخروط — أدخل أبعاده، ويعيد هذا الحاسبة كلاً من الحجم ومساحة السطح الإجمالية.

هذه الأشكال الخمسة هي النظائر الصلبة الأعلى ببُعد واحد للأشكال المسطحة الخاصة بحاسبة المساحة: المكعب هو مربع بعمق، والكرة دائرة بعمق، والأسطوانة دائرة مبثوقة على طول محور مستقيم، والمخروط يُضيّق نفس تلك الدائرة إلى نقطة.

الصيغة

لكل شكل صيغة حجمه الخاصة:

$$\text{متوازي المستطيلات: الحجم} = \vA{\text{الطول}} \times \vB{\text{العرض}} \times \vC{\text{الارتفاع}}$$ $$\text{المكعب: الحجم} = \vA{\text{الضلع}}^3$$ $$\text{الكرة: الحجم} = \left(\frac{4}{3}\right) \times \pi \times \vA{\text{نصف القطر}}^3$$ $$\text{الأسطوانة: الحجم} = \pi \times \vA{\text{نصف القطر}}^2 \times \vC{\text{الارتفاع}}$$ $$\text{المخروط: الحجم} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \pi \times \vA{\text{نصف القطر}}^2 \times \vC{\text{الارتفاع}}$$

حجم المخروط هو بالضبط ثلث حجم أسطوانة بنفس نصف القطر والارتفاع — نفس العلاقة التي يمتلكها دائمًا وعاء مخروطي الشكل وآخر أسطواني الشكل بقاعدة وارتفاع متساويين، بغض النظر عن الحجم.

مثال محلول

أسطوانة بنصف قطر 5 م وارتفاع 10 م:

1. تربيع نصف القطر: $\vA{5}^2 = 25$.
2. الضرب في π: $25 \times \pi \approx 78.54$.
3. الضرب في الارتفاع: $78.54 \times \vC{10} \approx 785.40 \text{ م}^3$.

مساحة سطحها — النهايتان الدائريتان بالإضافة إلى الجانب المنحني — تبلغ حوالي 471.24 م²، باستخدام $2 \times \pi \times \text{نصف القطر} \times (\text{نصف القطر} + \text{الارتفاع})$.

عوامل رئيسية يجب مراعاتها

• يتغيّر الحجم مع مكعب الأبعاد الخطية للشكل، ما ينتج نموًا دراميًا مع زيادة الحجم. مضاعفة كل بُعد لشكل ما يضرب حجمه في 8 (2³)، وليس 2 — هذا بالضبط سبب أن حاوية أو غرفة أكبر بشكل متواضع يمكن أن تتسع لأكثر بكثير مما قد يوحي به فرق الحجم للوهلة الأولى.
• يتغيّر الحجم ومساحة السطح بمعدلات مختلفة مع نمو الشكل، وهو ما له عواقب عملية حقيقية. ينمو الحجم مع مكعب الحجم الخطي بينما تنمو مساحة السطح فقط مع المربع — هذا جزء من سبب احتياج حاوية أكبر إلى مواد أقل تناسبيًا (نسبة لما تحمله) من حاوية أصغر بنفس الشكل، وهو مبدأ يُستخدم في التغليف وتصميم الحاويات.
• كون حجم المخروط ثلث حجم أسطوانة بنفس القاعدة والارتفاع بالضبط علاقة هندسية ثابتة، وليست مصادفة خاصة بحجم معين. تصح هذه النسبة بغض النظر عن كبر أو صغر نصف القطر والارتفاع، طالما يتشارك المخروط والأسطوانة نفس نصف قطر القاعدة والارتفاع.
• غالبًا ما تُقرَّب الأجسام الواقعية كمجموعة من هذه الأشكال الأساسية بدلًا من مطابقة شكل واحد تمامًا. يمكن نمذجة صومعة كأسطوانة زائد مخروط في الأعلى، أو حاوية غير منتظمة كأقرب شكل أساسي مطابق — تقسيم جسم واقعي معقد إلى أشكال مكونة أبسط، وحساب حجم كل منها، وجمعها تقنية عملية شائعة عندما لا تناسب صيغة واحدة تمامًا.

أخطاء شائعة

• استخدام القطر بدلاً من نصف القطر حيث تتطلب الصيغة نصف القطر. كل صيغة للكرة والأسطوانة والمخروط هنا مكتوبة بدلالة نصف القطر (نصف القطر الكامل) — إدخال القطر الكامل بدلاً منه يبالغ في تقدير الحجم بمعامل 8 للكرة أو 4 للأسطوانة/المخروط، لأن نصف القطر يُرفع للتكعيب أو التربيع في تلك الصيغ.
• خلط الوحدات عبر أبعاد الشكل. متوازي مستطيلات يُدخَل طوله بالقدم وعرضه بالبوصة وارتفاعه بالمتر ينتج نتيجة بلا معنى — يجب أن يكون كل بُعد بنفس الوحدة قبل الضرب، وهو بالضبط ما تحافظ عليه قائمة الوحدات المنسدلة في هذه الحاسبة تلقائيًا.
• الخلط بين الحجم ومساحة السطح عند طلب المواد. يخبرك حجم الحاوية بمقدار ما تتسع له؛ بينما تخبرك مساحة سطحها بمقدار المادة (الطلاء، الصفائح المعدنية، التغليف) التي تغطي خارجها — استخدام الخاطئ منهما لمشروع حقيقي إما يهدر المواد أو يترك نقصًا فيها.

معلومات مفيدة

• هل تتعامل مع شكل مسطح بدلاً من جسم صلب؟ حاسبة المساحة يغطي النظائر ثنائية الأبعاد لنفس هذه الأشكال.
• هل تملأ حجمًا بمادة معينة، مثل الخرسانة أو ماء حوض السمك؟ حاسبة الخرسانة وحاسبة حجم حوض السمك وكثافة التربية يحوّلان الحجم المحسوب إلى كمية حقيقية من المواد أو الكائنات الحية.