المصفوفات

تطبيق قواعد جبر المصفوفات على شبكة قابلة لتغيير الحجم

المصفوفة هي شبكة مستطيلة من الأرقام يمكن جمعها أو طرحها أو ضربها أو تحويلها كوحدة واحدة، متبعةً مجموعة قواعد جبرية خاصة بها مختلفة عن الحساب العادي. اختر عملية، وابنِ المصفوفة A (والمصفوفة B، إذا كانت العملية تحتاجها) باستخدام أزرار +/- للصفوف والأعمدة لتغيير حجم كل شبكة إلى الأبعاد التي تحتاجها، وستطبق هذه الحاسبة القاعدة المطابقة.

يتطلب الجمع والطرح أن تكون كلتا المصفوفتين بنفس الحجم تمامًا. يتطلب الضرب أن يطابق عدد أعمدة المصفوفة A عدد صفوف المصفوفة B (تأخذ النتيجة عدد صفوف المصفوفة A وعدد أعمدة المصفوفة B). لا يوجد المحدد إلا لمصفوفة مربعة (بنفس عدد الصفوف والأعمدة). يعمل المنقول مع مصفوفة من أي شكل، بقلب صفوفها وأعمدتها.

لا تحاول هذه الحاسبة إجراء اختزال الصفوف، أو معكوسات المصفوفات، أو القيم الذاتية — وهي مهمة مختلفة حقًا وأكبر بكثير من العمليات هنا.

المعادلة

تستخدم الأمثلة أدناه مصفوفات 2×2 لتوضيح كل قاعدة بوضوح — تمتد نفس القواعد مباشرة إلى أي حجم مصفوفة تدعمه الشبكة أعلاه. لتكن عناصر المصفوفة A $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ وعناصر المصفوفة B $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$، مكتوبة كل منهما كـ

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• الجمع/الطرح يجمعان المواضع المتطابقة واحدًا تلو الآخر: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• الضرب ليس عملية عنصر بعنصر — كل عنصر في النتيجة هو حاصل ضرب نقطي لـ “صف في عمود”: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• المحدد هو رقم واحد يصف مقدار تكبير المصفوفة للمساحة: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• المنقول يقلب المصفوفة عبر قطرها الرئيسي، مبادلًا العنصرين خارج القطر: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

مثال محلول

باستخدام $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ و $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$:

1. الجمع: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. الضرب: العنصر العلوي الأيسر هو $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$، والعلوي الأيمن هو $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$، والسفلي الأيسر هو $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$، و السفلي الأيمن هو $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$، مما يعطي $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.
3. محدد A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• ضرب المصفوفات عمومًا غير تبادلي — الترتيب مهم. على عكس ضرب الأرقام العادية، لا يساوي AB عادةً BA للمصفوفات، وقد لا يكون أحد الترتيبين صالحًا رياضيًا حتى إذا لم تتوافق الأبعاد بالطريقة الصحيحة — تتبع دائمًا أي مصفوفة تأتي أولاً.
• المحدد الصفري يعني أن مصفوفة مربعة “شاذة” وليس لها معكوس. هذا سبب شائع لفشل عملية مصفوفة في مكان آخر (مثل محاولة حل نظام معادلات خطية) — محدد غير صفري مطلوب لتكون المصفوفة قابلة للعكس.
• المصفوفات هي الأداة القياسية وراء التحويلات الخطية في رسوميات الحاسوب والفيزياء والهندسة. تدوير وتحجيم وقص شكل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد (شائع في تطوير الألعاب والرسوم المتحركة) كلها تُعبَّر كضرب مصفوفة مقابل مجموعة من نقاط الإحداثيات.
• تُكتب أبعاد المصفوفة دائمًا صفوف × أعمدة، وهذا الترتيب مهم للتوافق. مصفوفة 2×3 لها صفان وثلاثة أعمدة — ليكون الضرب صالحًا، يجب أن يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف الثانية، وهذا سبب كون AB يمكن أن يكون صالحًا بينما BA ليس كذلك، حتى عندما تكون كلتا المصفوفتين متوافقتين في الشكل من ناحية أخرى.

أخطاء شائعة

• ضرب المصفوفات عنصرًا بعنصر بدلاً من استخدام قاعدة صف في عمود. ضرب المصفوفات ليس نفس عملية الجمع أو الطرح — كل عنصر في النتيجة هو حاصل ضرب نقطي لصف كامل وعمود كامل، وليس ضربًا زوجيًا واحدًا.
• افتراض أن AB وBA يعطيان نفس النتيجة. ضرب المصفوفات عمومًا غير تبادلي، ويمكن أن ينتج عكس الترتيب نتيجة مختلفة تمامًا — أو حتى لا يكون صالحًا رياضيًا إذا لم تعد الأبعاد متوافقة.
• محاولة إيجاد محدد لمصفوفة غير مربعة. المحدد مُعرَّف فقط للمصفوفات المربعة (بنفس عدد الصفوف والأعمدة) — مصفوفة 2×3 أو 3×2 ببساطة ليس لها محدد.
• الخلط بين أبعاد المصفوفة عند التحقق من التوافق. حجم المصفوفة دائمًا صفوف × أعمدة، بهذا الترتيب — الخلط بين أي رقم هو أيهما مصدر شائع لالتباس “لماذا لا يعمل هذا الضرب”.

معلومات مفيدة

• تعمل مع نظام معادلات تمثله مصفوفة؟ تتعامل حاسبة حاسبة معادلة الدرجة الثانية مع حالة المتغير الواحد مباشرة إذا كان ذلك ما تحتاجه فعليًا.
• تحتاج دوالًا مثلثية أو لوغاريتمية أو دوالًا أخرى إلى جانب عمليات المصفوفات؟ تغطي حاسبة الحاسبة العلمية مجموعة الأدوات الأوسع تلك.
• تعمل مع مجموعة بيانات كبيرة بدلاً من مصفوفة صغيرة؟ تحسب حاسبة حاسبة الإحصاء المتوسط والوسيط والانحراف المعياري من قائمة أرقام مباشرة.