Fórmula Cuadrática

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Cómo Resolver ax² + bx + c = 0 para Cada Valor de x

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 para x, usando únicamente los tres coeficientes de la ecuación. Ingresa a, b y c, y esta calculadora encuentra todos los valores de x que hacen verdadera la ecuación — incluyendo el caso en el que la respuesta involucra números complejos en lugar de reales.

Una ecuación cuadrática siempre tiene exactamente dos soluciones cuando se cuentan correctamente: dos números reales distintos, un número real contado dos veces (una “raíz repetida”), o un par de números complejos. El caso que aplica depende por completo del signo del discriminante (la parte bajo la raíz cuadrada) — esta calculadora te indica cuál de ellos tienes, no solo los números en bruto.

La fórmula

Para $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (con $\vA{a} \neq 0$ ):

x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}

El término bajo la raíz cuadrada, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ , se llama el discriminante:

Discriminante	Qué significa
Positivo	Dos raíces reales distintas
Exactamente cero	Una raíz real repetida
Negativo	Dos raíces complejas conjugadas (sin solución real)

Ejemplo resuelto

Para $x^2 - 3x + 2 = 0$ ( $\vA{a}=1$ , $\vB{b}=-3$ , $\vC{c}=2$ ):

Discriminante: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ , que es positivo, así que hay dos raíces reales distintas.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$ .
$x = \frac{4}{2} = 2$ o $x = \frac{2}{2} = 1$ .

Comprobación: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ y $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — ambas soluciones se cumplen.

Factores Clave a Considerar

Las soluciones de una ecuación cuadrática son exactamente donde su gráfica (una parábola) cruza el eje x. Dos raíces reales distintas significan que la parábola cruza el eje x en dos puntos; una raíz repetida significa que apenas toca el eje en un punto (su vértice); las raíces complejas significan que la parábola nunca toca el eje x en absoluto, permaneciendo enteramente arriba o abajo de él.
El discriminante por sí solo indica la NATURALEZA de las soluciones antes de hacer cualquier cálculo adicional. Verificar si $b^2 - 4ac$ es positivo, cero, o negativo es una forma rápida de saber de antemano si una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución repetida, o un par complejo conjugado, sin necesidad de completar primero el resto de la fórmula.
El coeficiente a de una ecuación cuadrática nunca puede ser cero, o deja de ser cuadrática. Si a = 0, el término $x^2$ desaparece por completo y la ecuación se vuelve lineal (como máximo una solución, encontrada por álgebra simple) en lugar de cuadrática — esta es la razón por la que la fórmula cuadrática en sí solo es válida, y solo se necesita, cuando a no es cero.
Las raíces complejas siempre vienen en pares conjugados para una cuadrática con coeficientes reales. Cuando el discriminante es negativo, las dos soluciones siempre toman la forma $p + qi$ y $p - qi$ (partes reales idénticas, partes imaginarias de signo opuesto) — este emparejamiento es una consecuencia directa del ± en la fórmula aplicado a un número negativo bajo la raíz cuadrada.

Errores Comunes

Olvidar el ± e informar solo una raíz. El signo ± de la fórmula cuadrática significa que hay dos cálculos separados por hacer (uno con +, otro con -) — detenerse después del primero omite la mitad de la respuesta siempre que el discriminante no sea exactamente cero.
Tratar un discriminante negativo como “sin solución” en lugar de una solución compleja. Un discriminante negativo significa que la ecuación no tiene solución REAL, pero aun así tiene dos soluciones complejas válidas — la ecuación no es irresoluble, simplemente no es resoluble dentro de los números reales.
Ingresar a = 0 y esperar una respuesta cuadrática. Sin una a distinta de cero, la ecuación es lineal, no cuadrática, y la división por 2a de la fórmula queda indefinida — una ecuación lineal necesita álgebra simple en su lugar.

Bueno Saber

¿Solo necesitas una raíz cuadrada o raíz enésima en lugar de resolver una ecuación completa? Calculadora de Raíz Cuadrada / Raíz Enésima calcula raíces cuadradas y raíces enésimas directamente.
¿Trabajas con exponentes por sí solos? Calculadora de Exponentes calcula potencias y raíces.
¿Necesitas una calculadora más amplia para trigonometría, logaritmos u otras funciones más allá de esta ecuación? Calculadora Científica maneja una gama completa de cálculos científicos.

Fuente: Wikipedia: Fórmula cuadrática.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es la fórmula cuadrática?

Para una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, la fórmula cuadrática da x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ (2a). Resuelve todos los valores de x que hacen verdadera la ecuación, usando únicamente los tres coeficientes de la ecuación.

¿Qué me indica el discriminante?

El discriminante es la parte bajo la raíz cuadrada, b² - 4ac. Un discriminante positivo significa dos raíces reales distintas, cero significa exactamente una raíz real repetida, y un discriminante negativo significa que las dos raíces son complejas (involucran la unidad imaginaria i) en lugar de números reales.

¿Qué pasa si "a" es cero?

Si a = 0, la ecuación ya no es realmente cuadrática — es lineal (bx + c = 0), lo cual la fórmula cuadrática no puede resolver porque implicaría dividir entre cero. Esta calculadora detecta ese caso y te indica que uses una ecuación lineal en su lugar.