Formule Quadratique

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Résoudre ax² + bx + c = 0 pour Chaque Valeur de x

La formule quadratique résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 pour x, en utilisant seulement les trois coefficients de l’équation. Saisissez a, b, et c, et ce calculateur trouve chaque valeur de x qui rend l’équation vraie — y compris le cas où la réponse implique des nombres complexes plutôt que réels.

Une équation quadratique a toujours exactement deux solutions lorsque comptées correctement : deux nombres réels distincts, un nombre réel compté deux fois (une « racine répétée »), ou une paire de nombres complexes. Quel cas s’applique dépend entièrement du signe du discriminant (la partie sous la racine carrée) — ce calculateur vous dit lequel vous avez, pas seulement les chiffres bruts.

La Formule

Pour $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (avec $\vA{a} \neq 0$ ) :

x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}

Le terme sous la racine carrée, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ , est appelé le discriminant :

Discriminant	Ce que cela signifie
Positif	Deux racines réelles distinctes
Exactement zéro	Une racine réelle répétée
Négatif	Deux racines complexes conjuguées (pas de solution réelle)

Exemple Concret

Pour $x^2 - 3x + 2 = 0$ ( $\vA{a}=1$ , $\vB{b}=-3$ , $\vC{c}=2$ ) :

Discriminant : $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ , ce qui est positif, donc il y a deux racines réelles distinctes.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$ .
$x = \frac{4}{2} = 2$ ou $x = \frac{2}{2} = 1$ .

Vérification : $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ et $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — les deux solutions se vérifient.

Facteurs Clés à Considérer

Les solutions d’une équation quadratique sont exactement là où son graphique (une parabole) croise l’axe des x. Deux racines réelles distinctes signifient que la parabole croise l’axe des x en deux points ; une racine répétée signifie qu’elle touche juste l’axe en un point (son sommet) ; des racines complexes signifient que la parabole ne touche jamais l’axe des x du tout, restant entièrement au-dessus ou en dessous.
Le discriminant seul vous indique la NATURE des solutions avant tout calcul supplémentaire. Vérifier si $b^2 - 4ac$ est positif, zéro, ou négatif est un moyen rapide de savoir à l’avance si une équation a deux solutions réelles, une solution répétée, ou une paire complexe conjuguée, sans avoir besoin de compléter d’abord le reste de la formule.
Le coefficient a d’une équation quadratique ne peut jamais être zéro, sinon elle cesse d’être quadratique. Si a = 0, le terme $x^2$ disparaît entièrement et l’équation devient linéaire (au plus une solution, trouvée par algèbre simple) au lieu de quadratique — c’est pourquoi la formule quadratique elle-même n’est valide, et n’est nécessaire, que lorsque a est non nul.
Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées pour une quadratique à coefficients réels. Quand le discriminant est négatif, les deux solutions prennent toujours la forme $p + qi$ et $p - qi$ (parties réelles identiques, parties imaginaires de signe opposé) — cet appariement est une conséquence directe du ± dans la formule appliqué à un nombre négatif sous la racine carrée.

Erreurs Courantes

Oublier le ± et ne rapporter qu’une seule racine. Le signe ± de la formule quadratique signifie qu’il y a deux calculs séparés à faire (un avec +, un avec -) — s’arrêter après le premier fait manquer la moitié de la réponse dès que le discriminant n’est pas exactement zéro.
Traiter un discriminant négatif comme « pas de solution » plutôt qu’une solution complexe. Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a pas de solution RÉELLE, mais elle a quand même deux solutions complexes valides — l’équation n’est pas insoluble, juste non résoluble dans les nombres réels.
Saisir a = 0 et s’attendre à une réponse quadratique. Sans un a non nul, l’équation est linéaire, pas quadratique, et la division par 2a de la formule devient indéfinie — une équation linéaire nécessite une algèbre simple à la place.

Bon à Savoir

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Source : Wikipédia : Formule Quadratique.

Questions Fréquentes

Qu'est-ce que la formule quadratique ?

Pour une équation de la forme ax² + bx + c = 0, la formule quadratique donne x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ (2a). Elle résout pour chaque valeur de x qui rend l'équation vraie, en utilisant seulement les trois coefficients de l'équation.

Que me dit le discriminant ?

Le discriminant est la partie sous la racine carrée, b² - 4ac. Un discriminant positif signifie deux racines réelles distinctes, zéro signifie exactement une racine réelle répétée, et un discriminant négatif signifie que les deux racines sont complexes (impliquant l'unité imaginaire i) plutôt que des nombres réels.

Que se passe-t-il si « a » est zéro ?

Si a = 0, l'équation n'est en fait plus quadratique — elle est linéaire (bx + c = 0), que la formule quadratique ne peut pas résoudre puisqu'elle diviserait par zéro. Ce calculateur signale ce cas et vous dit d'utiliser plutôt une équation linéaire.