Interpolation Linéaire

Estimer une Valeur Entre Deux Points Connus

L’interpolation linéaire estime une valeur inconnue entre deux points connus, en supposant une relation linéaire entre eux. Entrez deux points connus (x, y) et la valeur x pour laquelle vous voulez une estimation, et cette calculatrice trouve le y correspondant.

La formule

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

où $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont vos deux points connus et $x$ est la valeur pour laquelle vous voulez une estimation.

Exemple résolu

Une voiture est à 50 milles à 2 heures, et à 140 milles à 5 heures. Où était-elle à 3,5 heures ?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ milles}}$

Facteurs Clés à Considérer

• Interpoler entre deux points est généralement plus fiable qu’extrapoler au-delà d’eux. Une valeur x cible qui tombe entre vos deux points connus reste dans la plage où la relation a réellement été observée, tandis qu’une cible en dehors de cette plage suppose que la même tendance en ligne droite continue inchangée — une hypothèse qui devient plus risquée plus vous vous éloignez de la plage connue.
• Cette méthode est exacte pour une relation véritablement linéaire, et seulement une approximation sinon. Un processus physique à vitesse constante, un taux fixe, ou toute relation véritablement en ligne droite donne une réponse exacte via cette formule — mais la plupart des processus du monde réel (comme la croissance composée ou l’accélération) sont en réalité courbes, donc plus vos deux points connus sont éloignés, plus une estimation en ligne droite peut s’écarter de la réalité entre les deux.
• Les tables de référence (comme les tables de consultation en ingénierie, les tables de vapeur, ou les tables actuarielles) s’appuient couramment sur l’interpolation linéaire entre les valeurs listées. Plutôt que de publier chaque valeur d’entrée possible, une table liste un ensemble gérable de points connus et attend du lecteur qu’il interpole entre eux — c’est l’un des usages pratiques les plus courants de cette technique exacte.
• Ajouter un troisième point connu peut révéler si la linéarité est réellement une hypothèse raisonnable. Si un troisième point que vous connaissez tombe près de la droite tracée entre les deux autres, l’interpolation linéaire est probablement fiable dans cette plage — s’il tombe loin de cette droite, la relation sous-jacente est probablement courbe et une estimation en ligne droite devrait être traitée avec plus de prudence.

Erreurs Courantes

• Extrapoler bien au-delà de la plage connue et traiter le résultat avec la même confiance qu’une interpolation. Une valeur cible en dehors de vos deux points connus suppose que la tendance se poursuit inchangée — une hypothèse bien plus risquée que d’estimer une valeur qui tombe réellement entre eux.
• Supposer une relation linéaire sans vérifier si le processus réel est vraiment linéaire. Des processus comme la croissance composée ou l’accélération sont courbes plutôt que rectilignes, donc une estimation linéaire peut être nettement fausse, surtout loin des points connus.
• Confondre quel point connu est lequel. Échanger x1/y1 avec x2/y2 dans la formule produit une pente différente (et erronée) — vérifiez deux fois que les valeurs x et y de chaque point connu ont été saisies ensemble correctement.
• Utiliser deux points connus très éloignés l’un de l’autre alors que la relation sous-jacente n’est pas linéaire. Plus l’écart entre vos deux points est large, plus une courbe a d’espace pour s’écarter de la droite qui les relie — des points connus plus proches et plus pertinents produisent généralement une estimation plus fiable.

Bon à Savoir

• Vous avez plusieurs points de données au lieu de seulement deux, et vous voulez la seule droite qui s’ajuste le mieux à tous ? La calculatrice Calculatrice de Régression par les Moindres Carrés gère ce cas plus large.
• Vous avez besoin de la pente entre deux points plutôt que d’une valeur estimée en un troisième ? La calculatrice Calculateur de Distance, Point Médian et Pente couvre cela directement.