Régression par les Moindres Carrés

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Ajuster une Droite à des Points de Données Dispersés

La régression par les moindres carrés trouve l’unique droite qui s’ajuste le mieux à un nuage de points de données. Entrez une liste de paires x, y — une par ligne — et cette calculatrice trouve la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite, ainsi que la force avec laquelle les points suivent réellement cette droite.

La formule

\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}

\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}

où $m$ est la pente, $b$ est l’ordonnée à l’origine, et $n$ est le nombre de points de données — ensemble, ils décrivent la droite $y = mx + b$ qui minimise la distance carrée totale de chaque point à la droite.

Exemple résolu

Ajustement d’une droite à travers (1, 1), (2, 2), et (3, 4) :

$m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
$b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — la droite ajustée est donc $y = 1,5x - 0,667$ , avec un coefficient de corrélation d’environ $0,98$ .

Facteurs Clés à Considérer

Un coefficient de corrélation élevé ne signifie pas nécessairement que x cause réellement y. Deux variables peuvent être fortement corrélées parce que l’une influence véritablement l’autre, parce que les deux sont déterminées par un troisième facteur, ou purement par coïncidence dans un petit ensemble de données — la corrélation décrit la force d’une relation linéaire, pas la raison derrière elle.
Cette méthode suppose que la relation réelle est linéaire, ce qui n’est pas toujours l’hypothèse correcte. Si un nuage de points suit en réalité une courbe, forcer une droite à travers celui-ci peut produire une droite techniquement « la mieux ajustée » qui décrit quand même mal les données — tracer les points visuellement avant de faire confiance à l’ajustement est une bonne pratique.
Un point inhabituel unique (une valeur aberrante) peut tirer de façon disproportionnée la droite ajustée vers lui. Parce que les moindres carrés minimisent des distances AU CARRÉ, un point éloigné de la tendance générale contribue bien plus à l’ajustement qu’un point proche de celle-ci — un petit ensemble de données avec une valeur aberrante extrême y est particulièrement sensible.
Plus de points de données produisent généralement un ajustement plus fiable, toutes choses égales par ailleurs. Une droite ajustée sur seulement 3-4 points (comme dans l’exemple concret) peut paraître convaincante mais comporte bien plus d’incertitude que la même relation mesurée sur des dizaines de points — la seule force de corrélation ne capture pas la quantité de données qui soutient réellement l’ajustement.

Erreurs Courantes

Traiter un coefficient de corrélation élevé comme une preuve de causalité. Une valeur de r élevée montre seulement que les points se regroupent étroitement autour d’une droite — elle ne dit rien sur le fait qu’une variable cause réellement des changements dans l’autre.
Ajuster une droite à des données qui sont en réalité courbes. Les moindres carrés renvoient toujours une pente et une ordonnée à l’origine, même quand un ajustement linéaire décrit mal le schéma sous-jacent — tracez d’abord les points, ou vérifiez si le coefficient de corrélation est étonnamment bas, avant de faire confiance au résultat.
Utiliser trop peu de points de données et considérer l’ajustement comme fiable. Une droite passant par seulement 3-4 points peut paraître convaincante mais comporte bien plus d’incertitude que la même relation mesurée sur des dizaines de points.
Laisser une seule valeur aberrante dominer l’ajustement sans s’en apercevoir. Comme les moindres carrés minimisent des distances au carré, un point très éloigné peut tirer toute la droite vers lui — il vaut la peine de vérifier si le retrait d’un point inhabituel change substantiellement le résultat.

Bon à Savoir

Besoin d’estimer une valeur entre deux points connus plutôt que d’ajuster une droite de tendance sur plusieurs points ? Le Calculatrice d'Interpolation Linéaire couvre ce cas plus direct.
Vous voulez voir comment une valeur spécifique se compare à la dispersion globale d’un ensemble de données ? Le Calculateur de Score Z mesure exactement cela.
Vous travaillez avec la même liste de nombres pour des statistiques récapitulatives plus larges ? Le Calculateur de Statistiques couvre la moyenne, la médiane, et l’écart-type.

Source : Régression linéaire simple.

Questions Fréquentes

Qu'est-ce que la régression par les moindres carrés ?

La régression par les moindres carrés trouve l'unique droite qui s'ajuste le mieux à un nuage de points de données, en minimisant la somme des distances verticales au carré entre chaque point et la droite. C'est la méthode standard pour décrire une relation linéaire entre deux variables.

Que signifient la pente et l'ordonnée à l'origine ?

La pente indique de combien y change pour chaque augmentation de 1 unité de x -- une pente de 2 signifie que y augmente de 2 chaque fois que x augmente de 1. L'ordonnée à l'origine est la valeur y prédite de la droite lorsque x est égal à 0, c'est-à-dire là où la droite croise l'axe vertical.

Que m'indique le coefficient de corrélation (r) ?

Le coefficient de corrélation va de -1 à 1 et mesure à quel point les points sont regroupés autour de la droite ajustée. Une valeur proche de 1 signifie une forte relation positive (quand x augmente, y augmente aussi de manière fiable), proche de -1 signifie une forte relation négative, et proche de 0 signifie peu ou pas de relation linéaire. Le coefficient de détermination (r²) est simplement r multiplié par lui-même, et se lit souvent comme « le pourcentage de la variation de y expliqué par x ».

Une forte corrélation signifie-t-elle que x cause y ?

Non — la corrélation mesure seulement à quel point deux variables évoluent ensemble, pas pourquoi. Une forte corrélation peut refléter une véritable causalité, une cause sous-jacente commune affectant les deux variables, ou une simple coïncidence, surtout dans un petit ensemble de données. Ne traitez pas un coefficient de corrélation élevé seul comme une preuve d'une relation causale.

Que se passe-t-il si mes données ne suivent pas réellement une droite ?

La régression par les moindres carrés ajuste toujours une droite, même à des données qui suivent véritablement une courbe — elle retournera quand même une pente, une ordonnée à l'origine, et un coefficient de corrélation, mais ceux-ci pourraient mal décrire la relation. Tracer d'abord vos points, ou vérifier si le coefficient de corrélation est étonnamment bas, peut signaler qu'un ajustement linéaire n'est pas le bon outil pour vos données.