統計

平均・中央値・最頻値・散らばりの求め方

この計算機は、任意の数値のリストの平均、中央値、最頻値、範囲、分散、標準偏差を求めます。 下のボックスに数値を貼り付けるか入力してください — カンマ、スペース、改行で区切って、どんな組み合わせでも構いません — 一般的な記述統計がすべて一度に計算されます。

平均は算術平均です。中央値は数値をソートしたときの中央の値です(リストの個数が偶数の場合は中央2つの平均)。最頻値は最も頻繁に現れる値(または複数の値)です — すべての数値がちょうど1回ずつ現れる場合、最頻値はありません。

標準偏差は数値が平均からどれだけ散らばっているかを測定します — 標準偏差が小さいほど数値が近くに集まっており、大きいほど広く散らばっています。この計算機はこれを2通りで報告します: 母標準偏差(あなたの数値があなたが関心を持つグループ全体である場合)と標本標準偏差(あなたの数値がより大きな母集団を推定するために使う標本である場合) — 標本版はわずかに大きく、標本が母集団全体の真のばらつきを過小評価する傾向を補正しています。

計算式

$$\vC{\text{平均}} = \frac{\sum \vA{\text{数値}}}{\vB{\text{個数}}}$$ $$\vD{\text{母分散}} = \frac{\sum (\vA{\text{数値}} - \vC{\text{平均}})^2}{\vB{\text{個数}}}$$ $$\vD{\text{標本分散}} = \frac{\sum (\vA{\text{数値}} - \vC{\text{平均}})^2}{\vB{\text{個数}} - 1}$$ $$\text{標準偏差} = \sqrt{\vD{\text{分散}}}$$

使用する分散に応じて、母集団または標本のものです。

母集団版と標本版の唯一の違いは、個数そのもので割るか、個数から1を引いたもの(ベッセルの補正として知られる)で割るかです — 他はすべて同一です。

計算例

数値2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9の場合:

1. 個数: $\vB{8}$。合計: $\vA{40}$。平均: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$。
2. ソート後: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — 中央値は中央2つの値(4と5)の平均です: $(4 + 5) \div 2 = 4.5$。
3. 最頻値: 4(3回出現し、他のどの値よりも多いです)。
4. 範囲: $9 - 2 = 7$。
5. 母標準偏差: 2.0。標本標準偏差: 約2.14。

考慮すべき重要なポイント

• データセットに外れ値がある場合や偏っている場合、平均と中央値はまったく異なる話を語ることがあります。 1つの非常に大きい、または非常に小さい値は平均をその方向に引っ張りますが、中央値は極端な値に関わらずソートされたデータの中央にとどまります — これがまさに、例えば世帯収入の中央値が平均収入の代わりに(あるいは一緒に)よく報告される理由です。一握りの非常に高い収入がなければ平均は上方に偏ってしまうためです。
• 母標準偏差と標本標準偏差のどちらを選ぶかは、好みではなく数値が実際に何を表しているかに完全に依存します。 入力した数値があなたが関心を持つグループ全体(特定の1クラスの全生徒)であれば母集団を使用してください。より大きなグループを推定するための標本(全顧客を代表することを意図した一部の顧客への調査)であれば標本を使用してください — 間違った方を選ぶと、真のばらつきを体系的に過小評価または過大評価することになります。
• 平均と中央値が常に単一の値であるのとは異なり、データセットには最頻値がない場合、1つある場合、複数ある場合があります。 リスト内のすべての値がちょうど1回ずつ現れる場合、単純に最頻値はありません — そして2つ以上の値が最も頻繁な回数で並んでいる場合、データセットは本当に「二峰性」や「多峰性」になることがあり、これ自体が根底にあるデータについて意味のあるシグナルであることがよくあります。
• 標準偏差は、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ分以内に収まる、おおよそ釣鐘型(正規)分布に対して最も直感的に解釈できます。 大きく偏った、または非常に異なる形のデータでは、標準偏差は依然として有効な散らばりの指標ですが、直感的な「68-95-99.7ルール」のパーセンテージはそれほどきれいには当てはまりません。

よくある間違い

• 習慣で常に母標準偏差(または常に標本標準偏差)を使ってしまう。 どちらが正しいかは、入力した 数値がグループ全体なのか、それとも一部の標本なのかに完全に依存します — 間違った方を選ぶと、 残りの計算をどれだけ慎重に行っても、真の散らばりを体系的に過小評価または過大評価することになります。
• データが偏っているときに、平均を「典型的な値」として扱ってしまう。 一部の異常に大きい、または 小さい数値が、実際にほとんどのデータが存在する場所から平均を引き離します — 収入や住宅価格のような 偏ったデータでは、中央値の方がより正直な「典型的な値」であることがよくあります。
• 最頻値が「ない」場合や「複数」ある場合があることを忘れてしまう。 すべてのデータセットに ちょうど1つの最頻値があると想定すると、リストに繰り返しの値がない場合(最頻値なし)や、複数の 値が最も頻繁な回数で並んでいる場合(多峰性)に混乱を招きます — どちらも正常で想定内の結果であり、 エラーではありません。

知っておくと便利なこと

• リストから計算するのではなく、既知の平均と標準偏差に対して1つの値を標準化する必要がありますか? Zスコア計算機 は1つの値をZスコアとパーセンタイルに変換します。
• わずか2つの数値を扱っていて、完全な記述統計分析ではなくパーセンテージの差を知りたいですか? 誤差率計算機とパーセント計算機 がそのより単純なケースを カバーします。
• すでに持っているデータセットを説明するだけでなく、特定の結果がどれくらい起こりやすいか知りたい ですか? 確率計算機は単一および複合的な事象の確率を計算します。