線形補間

2つの既知の点の間の値を推定する

線形補間は、2つの既知のデータ点の間の未知の値を、それらの間の関係が直線に従うと仮定して 推定します。 2つの既知の点(x, y)と推定を求めたいx値を入力すると、この計算機は対応するyを 求めます。

計算式

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

ここで $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ は2つの既知の点、$x$ は推定を求めたい値です。

計算例

車が 2時間 の時点で 50マイル、5時間 の時点で 140マイル の位置にありました。 3.5時間 の時点ではどこにいたでしょうか?

1. $y = 50 + (3.5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1.5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ マイル}}$

考慮すべき主な要因

• 2点の間を補間する方が、それらの範囲を超えて外挿するよりも一般的に信頼できます。 求めたいx値が2つの既知の点の間にある場合、その関係が実際に観測された範囲内にとどまりますが、その範囲外の値を求める場合は、同じ直線的な傾向が変わらず続くと仮定することになります — これは既知の範囲から遠く離れるほどリスクが高まる仮定です。
• この方法は、本当に線形な関係に対しては正確であり、それ以外の場合は近似にすぎません。 一定の速度、固定された比率、あるいは本当に直線的な関係を持つ物理的プロセスは、この式で正確な答えが得られます — しかし実際のほとんどのプロセス(複利成長や加速など)は実際には曲線を描くため、2つの既知の点が離れているほど、その間のどこかで直線的な見積もりが現実から乖離する可能性が高くなります。
• 参照表(工学のルックアップテーブル、蒸気表、保険数理表など)は、掲載された値の間で線形補間に頼るのが一般的です。 あらゆる可能な入力値を掲載する代わりに、表は管理しやすい数の既知の点を掲載し、読者がその間を補間することを想定しています — これはこの正確な手法の最も一般的な実用例の一つです。
• 3つ目の既知の点を加えることで、線形性が実際に妥当な仮定かどうかを明らかにできます。 知っている3つ目の点が、他の2点を結んだ直線の近くに位置するなら、その範囲での線形補間はおそらく信頼できます — その直線から大きく外れているなら、根底にある関係はおそらく曲線を描いており、直線的な見積もりはより慎重に扱うべきです。

よくある間違い

• 既知の範囲をはるかに超えて外挿し、その結果を補間と同じ信頼度で扱ってしまう。 2つの既知の点の外側にある目標値は、傾向が変わらず続くと仮定します — これは実際に間にある値を推定するよりもはるかにリスクの高い仮定です。
• 実際のプロセスが本当に線形かどうかを確認せずに、線形関係を仮定してしまう。 複利成長や加速のようなプロセスは直線ではなく曲線を描くため、線形の見積もりは、特に既知の点から離れた場所では大きく誤っている可能性があります。
• どちらの既知の点がどちらかを混同してしまう。 式のx1/y1とx2/y2を入れ替えると、異なる(誤った)傾きが得られます — 各既知の点のx値とy値が正しく組み合わされて入力されているか再確認してください。
• 根底にある関係が線形でない場合に、互いに大きく離れた2つの既知の点を使ってしまう。 2つの点の間隔が広いほど、それらを結ぶ直線から曲線が外れる余地が大きくなります — より近く、より関連性の高い既知の点を使うことで、一般的により信頼できる見積もりが得られます。

知っておくと便利なこと

• 2点だけでなく複数のデータ点があり、それらすべてに最もよく適合する1本の直線が欲しいですか? 最小二乗回帰計算機 はそのより広いケースに対応します。
• 3点目での推定値ではなく、2点間の傾きが必要ですか? 距離・中点・傾き計算機 はそれを 直接カバーします。