Interpolacja liniowa

Szacowanie Wartości Między Dwoma Znanymi Punktami

Interpolacja liniowa szacuje nieznaną wartość między dwoma znanymi punktami danych, zakładając, że zależność między nimi jest liniowa. Wpisz dwa znane punkty (x, y) oraz wartość x, dla której chcesz oszacować y, a ten kalkulator znajdzie odpowiadające y.

Wzór

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

gdzie $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ to dwa znane punkty, a $x$ to wartość, dla której chcesz oszacowanie.

Rozwiązany przykład

Samochód jest przy 50 milach po 2 godzinach i przy 140 milach po 5 godzinach. Gdzie był po 3,5 godziny?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ mil}}$

Kluczowe czynniki do rozważenia

• Interpolacja między dwoma punktami jest generalnie bardziej wiarygodna niż ekstrapolacja poza nie. Docelowa wartość x mieszcząca się między dwoma znanymi punktami pozostaje w zakresie, w którym zależność faktycznie zaobserwowano, podczas gdy wartość docelowa poza tym zakresem zakłada, że ten sam prostoliniowy trend trwa niezmiennie — założenie, które staje się bardziej ryzykowne, im dalej poza znany zakres się wychodzi.
• Ta metoda jest dokładna dla prawdziwie liniowej zależności, a poza tym stanowi jedynie przybliżenie. Proces fizyczny o stałej prędkości, stałym tempie lub jakakolwiek naprawdę prostoliniowa zależność daje dokładną odpowiedź przy użyciu tego wzoru — ale większość rzeczywistych procesów (jak wzrost złożony czy przyspieszenie) faktycznie się krzywi, więc im dalej od siebie są Twoje dwa znane punkty, tym bardziej prostoliniowe oszacowanie może odbiegać od rzeczywistości gdzieś pomiędzy nimi.
• Tabele referencyjne (jak tabele przeglądowe w inżynierii, tabele parowe czy tabele aktuarialne) często opierają się na interpolacji liniowej między podanymi wartościami. Zamiast publikować każdą możliwą wartość wejściową, tabela wymienia zarządzalny zestaw znanych punktów i oczekuje, że czytelnik będzie interpolował między nimi — to jedno z najczęstszych praktycznych zastosowań dokładnie tej techniki.
• Dodanie trzeciego znanego punktu może ujawnić, czy liniowość jest faktycznie rozsądnym założeniem. Jeśli znany trzeci punkt leży blisko linii wykreślonej między pozostałymi dwoma, interpolacja liniowa jest prawdopodobnie wiarygodna w tym zakresie — jeśli leży daleko od tej linii, leżąca u podstaw zależność prawdopodobnie się krzywi, a prostoliniowe oszacowanie należy traktować z większą ostrożnością.

Częste Błędy

• Ekstrapolacja daleko poza znany zakres i traktowanie wyniku z taką samą pewnością jak interpolacji. Wartość docelowa poza dwoma znanymi punktami zakłada, że trend trwa niezmiennie — to znacznie bardziej ryzykowne założenie niż oszacowanie wartości faktycznie mieszczącej się pomiędzy nimi.
• Zakładanie liniowej zależności bez sprawdzenia, czy rzeczywisty proces jest naprawdę liniowy. Procesy takie jak wzrost złożony czy przyspieszenie krzywią się zamiast podążać po linii prostej, więc liniowe oszacowanie może być znacząco błędne, zwłaszcza daleko od znanych punktów.
• Mylenie, który znany punkt jest którym. Zamiana x1/y1 z x2/y2 we wzorze daje inny (i błędny) współczynnik nachylenia — sprawdź dwukrotnie, czy wartości x i y każdego znanego punktu zostały wprowadzone poprawnie razem.
• Używanie dwóch znanych punktów bardzo odległych od siebie, gdy leżąca u podstaw zależność nie jest liniowa. Im szersza jest luka między dwoma punktami, tym więcej miejsca ma krzywa na odchylenie się od łączącej je linii prostej — bliższe, bardziej trafne znane punkty zwykle dają bardziej wiarygodne oszacowanie.

Warto Wiedzieć

• Masz kilka punktów danych zamiast tylko dwóch i chcesz jedną najlepiej dopasowaną linię przechodzącą przez wszystkie z nich? Kalkulator Kalkulator regresji najmniejszych kwadratów obsługuje ten szerszy przypadek.
• Potrzebujesz nachylenia między dwoma punktami zamiast oszacowanej wartości w trzecim? Kalkulator Kalkulator odległości, środka odcinka i nachylenia pokrywa to bezpośrednio.