Andragradsekvation

Att Lösa ax² + bx + c = 0 för Varje Värde på x

Andragradsformeln löser vilken ekvation som helst av formen ax² + bx + c = 0 för x, med hjälp av bara ekvationens tre koefficienter. Ange a, b och c, så hittar denna kalkylator varje värde på x som gör ekvationen sann — inklusive fallet där svaret involverar komplexa tal istället för reella.

En andragradsekvation har alltid exakt två lösningar när det räknas korrekt: två distinkta reella tal, ett reellt tal räknat två gånger (en “dubbelrot”), eller ett par komplexa tal. Vilket fall som gäller beror helt på tecknet hos diskriminanten (delen under kvadratroten) — denna kalkylator talar om för dig vilket du har, inte bara de råa talen.

Formeln

För $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (med $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Termen under kvadratroten, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, kallas diskriminanten:

Räkneexempel

För $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, vilket är positivt, så det finns två distinkta reella rötter.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ eller $x = \frac{2}{2} = 1$.

Kontroll: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ och $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — båda lösningarna stämmer.

Viktiga faktorer att tänka på

• En andragradsekvations lösningar är precis där dess graf (en parabel) korsar x-axeln. Två distinkta reella rötter betyder att parabeln korsar x-axeln vid två punkter; en dubbelrot betyder att den bara nuddar axeln vid en punkt (dess vertex); komplexa rötter betyder att parabeln aldrig rör x-axeln alls, och förblir helt ovanför eller under den.
• Diskriminanten ensam talar om NATUREN hos lösningarna innan man gör ytterligare beräkningar. Att kontrollera om $b^2 - 4ac$ är positiv, noll eller negativ är ett snabbt sätt att i förväg veta om en ekvation har två reella lösningar, en dubbel lösning, eller ett komplexkonjugerat par, utan att behöva fullfölja resten av formeln först.
• En andragradsekvations a-koefficient kan aldrig vara noll, annars slutar den vara en andragradsekvation. Om a = 0 försvinner $x^2$-termen helt och ekvationen blir linjär (högst en lösning, som hittas med enkel algebra) istället för kvadratisk — det är varför andragradsformeln själv bara är giltig, och bara behövs, när a är skild från noll.
• Komplexa rötter kommer alltid i konjugerade par för en andragradsekvation med reella koefficienter. När diskriminanten är negativ har de två lösningarna alltid formen $p + qi$ och $p - qi$ (identiska reella delar, motsatt tecken på de imaginära delarna) — denna parning är en direkt konsekvens av ±-tecknet i formeln tillämpat på ett negativt tal under kvadratroten.

Vanliga Misstag

• Att glömma ± och bara ange en rot. ±-tecknet i andragradsformeln betyder att det finns två separata beräkningar att göra (en med +, en med -) — att stanna efter den första missar hälften av svaret så snart diskriminanten inte är exakt noll.
• Att behandla en negativ diskriminant som “ingen lösning” istället för en komplex lösning. En negativ diskriminant betyder att ekvationen inte har någon REELL lösning, men den har fortfarande två giltiga komplexa lösningar — ekvationen är inte olöslig, bara inte lösbar inom de reella talen.
• Att ange a = 0 och förvänta sig ett andragradssvar. Utan ett a skilt från noll är ekvationen linjär, inte kvadratisk, och formelns division med 2a blir odefinierad — en linjär ekvation behöver enkel algebra istället.

Bra Att Veta

• Behöver du bara en kvadratrot eller n:te rot istället för att lösa en hel ekvation? Kvadratrot / N:te Rot Kalkylator beräknar kvadratrötter och n:te rötter direkt.
• Arbetar du med exponenter på egen hand? Exponentkalkylator beräknar potenser och rötter.
• Behöver du en bredare kalkylator för trigonometri, logaritmer eller andra funktioner utöver denna ekvation? Vetenskaplig Kalkylator hanterar ett brett spektrum av vetenskapliga beräkningar.