Linjär Interpolation

Att Uppskatta Ett Värde Mellan Två Kända Punkter

Linjär interpolation uppskattar ett okänt värde mellan två kända datapunkter genom att anta att sambandet mellan dem följer en rät linje. Ange två kända punkter (x, y) och det x-värde du vill ha en uppskattning för, och denna kalkylator hittar motsvarande y.

Formel

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

där $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$ är dina två kända punkter och $x$ är värdet du vill ha en uppskattning för.

Löst exempel

En bil befinner sig vid 50 mil vid 2 timmar, och vid 140 mil vid 5 timmar. Var var den vid 3,5 timmar?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ mil}}$

Viktiga faktorer att tänka på

• Att interpolera mellan två punkter är generellt mer tillförlitligt än att extrapolera bortom dem. Ett målvärde för x som ligger mellan dina två kända punkter håller sig inom det intervall där sambandet faktiskt observerades, medan ett målvärde utanför det intervallet förutsätter att samma raka trend fortsätter oförändrad — ett antagande som blir riskablare ju längre utanför det kända intervallet du går.
• Denna metod är exakt för ett verkligt linjärt samband, och bara en approximation annars. En fysisk process med konstant hastighet, en fast takt, eller något genuint rätlinjigt samband ger ett exakt svar med denna formel — men de flesta verkliga processer (som sammansatt tillväxt eller acceleration) böjer sig faktiskt, så ju längre isär dina två kända punkter är, desto mer kan en rätlinjig uppskattning avvika från verkligheten mellan dem.
• Referenstabeller (som uppslagstabeller inom teknik, ångtabeller eller aktuarietabeller) förlitar sig vanligtvis på linjär interpolation mellan listade värden. Istället för att publicera varje möjligt indatavärde listar en tabell en hanterbar mängd kända punkter och förväntar sig att läsaren interpolerar mellan dem — det här är en av de vanligaste praktiska användningarna av just denna teknik.
• Att lägga till en tredje känd punkt kan avslöja om linjäritet faktiskt är ett rimligt antagande. Om en tredje punkt du känner till hamnar nära linjen dragen mellan de andra två är linjär interpolation sannolikt tillförlitlig i det intervallet — om den hamnar långt från den linjen böjer sig sambandet troligen och en rätlinjig uppskattning bör hanteras med mer försiktighet.

Vanliga Misstag

• Att extrapolera långt utanför det kända intervallet och behandla resultatet med samma tillförlitlighet som en interpolation. Ett målvärde utanför dina två kända punkter förutsätter att trenden fortsätter oförändrad — ett mycket riskablare antagande än att uppskatta ett värde som faktiskt ligger mellan dem.
• Att anta ett linjärt samband utan att kontrollera om den verkliga processen faktiskt är linjär. Processer som sammansatt tillväxt eller acceleration böjer sig istället för att följa en rät linje, så en linjär uppskattning kan vara märkbart fel, särskilt långt från de kända punkterna.
• Att blanda ihop vilken känd punkt som är vilken. Att byta x1/y1 mot x2/y2 i formeln ger en annan (och felaktig) lutning — dubbelkolla att x- och y-värdena för varje känd punkt har matats in korrekt tillsammans.
• Att använda två kända punkter som ligger mycket långt ifrån varandra när det underliggande sambandet inte är linjärt. Ju bredare gapet mellan dina två punkter är, desto mer utrymme har en kurva att avvika från den räta linje som förbinder dem — närmare, mer relevanta kända punkter ger generellt en mer tillförlitlig uppskattning.

Bra Att Veta

• Har du flera datapunkter istället för bara två, och vill ha den enda linje som passar bäst genom alla? Minsta Kvadratmetoden Kalkylator-kalkylatorn hanterar det bredare fallet.
• Behöver du lutningen mellan två punkter istället för ett uppskattat värde vid en tredje? Avstånd, Mittpunkt och Lutning Kalkylator -kalkylatorn täcker det direkt.