Z-värde

Standardisera Ett Värde Mot En Fördelnings Medelvärde

Ett z-värde mäter hur många standardavvikelser ett värde ligger över eller under en fördelnings medelvärde. Ange ett värde, fördelningens medelvärde och dess standardavvikelse för att hitta z-värdet och motsvarande percentil — hur stor andel av en normalfördelning som ligger vid eller under det värdet.

Ett z-värde på 0 betyder att värdet är exakt lika med medelvärdet. Positiva z-värden ligger över medelvärdet; negativa z-värden ligger under det. Eftersom ungefär 68 % av en normalfördelning ligger inom 1 standardavvikelse från medelvärdet, 95 % inom 2, och 99,7 % inom 3, ger ett z-värde ensamt en omedelbar känsla för hur ovanligt ett värde är.

Formeln

$$\text{Z-värde} = \frac{\vA{\text{Värde}} - \vB{\text{Medelvärde}}}{\vC{\text{Standardavvikelse}}}$$

Percentilen kommer från standardnormalfördelningens kumulativa fördelningsfunktion — sannolikheten att ett slumpmässigt draget värde från den fördelningen ligger vid eller under det angivna z-värdet, beräknad här via en väletablerad polynomapproximation av felfunktionen.

Räkneexempel

Ett IQ-värde på 115, där IQ-värden har ett medelvärde på 100 och en standardavvikelse på 15:

1. Z-värde: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, sedan $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Percentil: ett z-värde på exakt 1 motsvarar den 84,13:e percentilen — detta värde är högre än omkring 84 % av fördelningen.

Viktiga Faktorer Att Tänka På

• Denna beräkning förutsätter att den underliggande fördelningen är genuint normal (klockformad), vilket inte gäller för alla verkliga datamängder. Många verkliga mätningar (som längd eller IQ-poäng) approximerar en normalfördelning tillräckligt nära för att detta ska fungera bra, men en fördelning som är kraftigt skev eller har flera toppar får inte sin percentil korrekt beskriven av den standardnormalkurva denna kalkylator förlitar sig på.
• Ett z-värde standardiserar värden från olika fördelningar till samma jämförbara skala. Det är exakt vad som gör z-värden användbara för att jämföra ett värdes relativa ställning mellan två olika mätningar med olika medelvärden och standardavvikelser — som att jämföra ett provresultat på ett prov mot ett annat prov med en annan poängskala.
• Denna kalkylator beräknar en ENSIDIG percentil (andelen av fördelningen vid eller under ett värde), vilket skiljer sig från en tvåsidig (båda-svansarna) sannolikhet. Beroende på vilken fråga som ställs — “hur stor andel fick lägre poäng än mig” jämfört med “hur ovanligt är detta värde i endera riktningen” — kan den relevanta siffran att använda skilja sig åt, och det är värt att vara tydlig med vilken ett specifikt användningsfall faktiskt behöver.
• Z-värdeskalkylatorn och Statistikkalkylatorn besvarar relaterade men genuint olika frågor. Statistikkalkylatorn beräknar en datamängds EGET medelvärde och standardavvikelse från råa tal, medan denna kalkylator poängsätter ETT värde mot en REDAN KÄND fördelnings medelvärde och standardavvikelse — de två används ofta tillsammans, genom att först beräkna en fördelnings parametrar och sedan poängsätta enskilda värden mot den.

Vanliga Misstag

• Att använda en stickprovsstatistik som om den vore den sanna populationens medelvärde/ standardavvikelse. Ett medelvärde och en standardavvikelse uppskattade från ett litet stickprov bär på sin egen osäkerhet — att behandla dem som exakta populationsparametrar kan få en percentil att se mer exakt ut än den faktiskt är.
• Att anta att den underliggande datan är normalfördelad utan att kontrollera det. Percentilomvandlingen gäller bara för genuint klockformad data — för en skev eller multitoppig fördelning förblir den beräknade z-värdet giltigt, men percentilsiffran som kommer ut av det kan vara allvarligt missvisande.
• Att förväxla en ensidig percentil med en tvåsidig (båda-svansarna) sannolikhet. “Hur stor andel fick lägre poäng än mig” och “hur ovanligt är detta värde i endera riktningen” är olika frågor med olika svar — att använda fel för situationen leder till felaktig tolkning av resultatet.

Bra Att Veta

• Behöver du först medelvärdet och standardavvikelsen att mata in här? Statistik Kalkylator beräknar båda direkt från en rå lista med tal.
• Vill du uttrycka hur tillförlitlig en uppskattning är, i stället för att poängsätta ett enda värde? Konfidensintervall Kalkylator bygger ett intervall runt en stickprovsstatistik i stället för en enda standardiserad poäng.