一元二次方程求根公式

求解每个 x 值对应的 ax² + bx + c = 0

求根公式仅使用方程的三个系数，即可求解任何形如 ax² + bx + c = 0 的方程中的 x。 输入 a、b 和 c，此计算器会求出使方程成立的每一个 x 值 — 包括答案涉及复数而非实数的情况。

只要计算方式正确，一个二次方程始终恰好有两个解：两个不同的实数、一个被计算两次的实数（「重根」），或一对复数。具体是哪种情况完全取决于判别式（平方根下的部分）的正负 — 此计算器会告诉您具体属于哪一种，而不仅仅是给出原始数字。

计算公式

对于 $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$（其中 $\vA{a} \neq 0$）：

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

平方根下的项 $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ 称为判别式：

举例说明

对于 $x^2 - 3x + 2 = 0$（$\vA{a}=1$，$\vB{b}=-3$，$\vC{c}=2$）：

1. 判别式：$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$，为正数，因此有两个不同的实根。
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$。
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ 或 $x = \frac{2}{2} = 1$。

验证：$(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ 且 $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — 两个解都验证通过。

需要考虑的关键因素

• 二次方程的解正是其图像（一条抛物线）与 x 轴相交的位置。 两个不同的实根意味着抛物线在 两个点与 x 轴相交；重根意味着抛物线仅在一点（其顶点）触及 x 轴；复根意味着抛物线完全不触及 x 轴，始终位于 x 轴上方或下方。
• 仅凭判别式，就能在进行进一步计算之前知道解的性质。 检查 $b^2 - 4ac$ 是正数、零还是 负数，是一种快速判断方程有两个实数解、一个重根，还是一对共轭复根的方法，而无需先完成公式的 其余计算。
• 二次方程的系数 a 永远不能为零，否则它就不再是二次方程。 如果 a = 0，$x^2$ 项会 完全消失，方程会变成线性方程（最多一个解，通过简单代数即可求出），而不再是二次方程——这正 是为什么求根公式只有在 a 不为零时才成立，也才有必要使用。
• 对于系数为实数的二次方程，复根总是以共轭对的形式出现。 当判别式为负数时，两个解总是形 如 $p + qi$ 和 $p - qi$（实部相同，虚部符号相反）——这种成对出现是公式中的 ± 符号作用 于平方根下负数的直接结果。

常见错误

• 忘记 ± 符号，只给出一个根。 求根公式中的 ± 符号意味着需要进行两次单独的计算（一次用 +，一次用 -）——如果在第一次计算后就停止，只要判别式不恰好为零，就会漏掉一半的答案。
• 将负判别式当作”无解”而不是复数解。 负判别式意味着方程没有实数解，但它仍然有两个有效 的复数解——该方程并非无法求解，只是无法在实数范围内求解。
• 输入 a = 0 却期望得到二次方程的答案。 如果 a 不为非零值，方程就是一次方程而非二次 方程，公式中除以 2a 的运算将变得没有意义——因此一次方程需要用简单的代数方法求解。

需要了解的其他信息

• 只需要求平方根或 n 次方根，而不是求解整个方程？平方根/N次方根计算器 可直接计算平方根和 n 次方根。
• 只需处理指数运算？指数计算器 可计算幂和方根。
• 除本方程外，还需要涵盖三角函数、对数或其他函数的更全面的计算器？科学计算器 可处理广泛的科学计算。