半衰期/放射性衰变

使用半衰期公式计算指数衰减

半衰期是恰好一半的量发生衰变所需的时间 — 无论是放射性同位素、体内的药物，还是任何其他呈指数衰减的量。输入初始量和半衰期，以及经过时间或剩余量二者之一，此计算器将求出另一个值。

计算公式

$$\vB{N(t)} = \vA{N_0} \times 0.5^{t / T}$$ $$t = T \times \log_2\left(\frac{\vA{N_0}}{\vB{N_t}}\right)$$

其中 $N_0$ 是初始量，$T$ 是半衰期，$t$ 是经过时间，$N_t$ 是在时间 $t$ 时的剩余量。

举例说明

一种物质，初始量为 100 克，半衰期为 10 天：

1. 经过 20 天（2 个半衰期）后：$\vB{N(t)} = 100 \times 0.5^{20/10} = 100 \times 0.25 \approx \vB{25}$ 克剩余。
2. 这是初始量的 $\vC{25\%}$，恰好经过了 2 个半衰期。

需要考虑的关键因素

• 在纯指数衰减下，一种物质永远不会完全”消失”——剩余量只会不断趋近于零。 这是指数衰减的一个真实数学特性：公式给出的剩余量会越来越小，但永远不会精确为零——在实际应用中，经过若干个半衰期后剩余量会变得可以忽略不计（而非数学意义上的零），通常认为经过约 5-7 个半衰期后已实际耗尽。
• 不同物质的半衰期差异极大，从几分之一秒到数十亿年不等。 医学上使用的放射性同位素半衰期通常为数小时到数天，而一些用于地质测年的同位素（如铀-238）半衰期则以数十亿年计——同一个公式适用于任何尺度，变化的只是半衰期数值。
• 体内药物消除的半衰期遵循相同的数学原理，但真实的生物消除过程可能更复杂。 许多药物的消除过程能较好地近似为简单的指数衰减，但有些则遵循更复杂的多阶段消除模式——某种药物的实际临床半衰期应来自针对该药物的具体药理数据，而不应假设其为完美的单一指数衰减。
• 碳定年法及类似技术正是通过测量剩余比例并反推经过时间来实现的。 这正是本计算器”求解时间”方向的应用——已知某放射性同位素的初始量和当前量，就能计算出衰变已经持续了多长时间，这正是放射性测年方法的基本原理。

常见错误

• 假设物质在经过少数几个半衰期后就已完全消失。 指数衰减实际上永远不会真正达到零——经过2个半衰期后，剩余量是25%，而不是0%；经过5个半衰期后，剩余量约为3%。“实际上已耗尽”是一种实用的近似说法，而非数学上的确切事实。
• 认为衰减在每个半衰期中去除的是固定数量，而不是固定比例。 每个半衰期去除的是当时剩余量的一半，而不是每次都去除初始量的一半——100克变为50克，然后25克，然后12.5克，绝不会每个周期固定减少50克。
• 在半衰期和经过时间之间混用不同的时间单位。 如果半衰期以天为单位输入，那么经过时间（或反之）也必须使用相同的单位——一个用天、另一个用年输入会在不知不觉中得出毫无意义的结果。
• 对具有真正多阶段衰减或消除模式的物质，使用本计算器简单的单一指数模型。 如上所述，某种药物的真实临床半衰期数据（或复杂的核衰变链）可能并不遵循单一干净的指数曲线——在将这个简单模型当作对真实情况的精确表示之前，请先查阅该物质的具体数据。

实用小知识

放射性碳定年法有一个实际的年代上限，直接由碳-14自身的半衰期决定。 大约经过8-10个半衰期后（约50,000-60,000年，因为碳-14的半衰期约为5,730年），样本中残留的碳-14会少到无法可靠测量——这正是放射性碳定年法不用于测定超过约50,000年历史样本的原因。更古老的样本则使用半衰期长得多的同位素来定年，例如钾-40或铀-238，采用的正是同样的指数衰变数学原理。