الاستيفاء الخطي

تقدير قيمة بين نقطتين معروفتين

يقدر الاستيفاء الخطي قيمة غير معروفة بين نقطتي بيانات معروفتين بافتراض أن العلاقة بينهما تتبع خطًا مستقيمًا. أدخل نقطتين معروفتين (x, y) وقيمة x التي تريد تقديرًا لها، وستجد هذه الحاسبة قيمة y المقابلة.

الصيغة

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

حيث $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ هما نقطتاك المعروفتان، و$x$ هي القيمة التي تريد تقديرًا لها.

مثال محلول

سيارة عند 50 ميلًا عند الساعة 2، وعند 140 ميلًا عند الساعة 5. أين كانت عند الساعة 3.5؟

1. $y = 50 + (3.5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1.5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ ميلًا}}$

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• الاستيفاء بين نقطتين عمومًا أكثر موثوقية من الاستقراء خارجهما. قيمة x مستهدفة تقع بين نقطتيك المعروفتين تبقى ضمن النطاق الذي رُصدت فيه العلاقة فعليًا، بينما تفترض قيمة خارج ذلك النطاق استمرار نفس الاتجاه الخطي المستقيم دون تغيير — افتراض يزداد خطورة كلما ابتعدت خارج النطاق المعروف.
• هذه الطريقة دقيقة تمامًا لعلاقة خطية حقًا، وتقريب فقط في غير ذلك. عملية فيزيائية بسرعة ثابتة، أو معدل ثابت، أو أي علاقة خط مستقيم حقيقية تعطي إجابة دقيقة عبر هذه الصيغة — لكن معظم العمليات الواقعية (مثل النمو المركب أو التسارع) تنحني فعليًا، لذا كلما ابتعدت نقطتاك المعروفتان عن بعضهما، كلما زاد احتمال انحراف تقدير الخط المستقيم عن الواقع في منتصف الطريق بينهما.
• الجداول المرجعية (مثل جداول البحث في الهندسة، أو جداول البخار، أو الجداول الاكتوارية) تعتمد عادةً على الاستيفاء الخطي بين القيم المُدرجة. بدلاً من نشر كل قيمة إدخال ممكنة، يسرد الجدول مجموعة قابلة للإدارة من النقاط المعروفة ويتوقع من القارئ الاستيفاء بينها — هذا أحد أكثر الاستخدامات العملية شيوعًا لهذه التقنية بالضبط.
• إضافة نقطة ثالثة معروفة يمكن أن تكشف ما إذا كانت الخطية فعلاً افتراضًا معقولاً. إذا وقعت نقطة ثالثة تعرفها قريبة من الخط المرسوم بين النقطتين الأخريين، فإن الاستيفاء الخطي على الأرجح موثوق في ذلك النطاق — إذا وقعت بعيدًا عن ذلك الخط، فإن العلاقة الأساسية على الأرجح منحنية ويجب التعامل مع تقدير الخط المستقيم بمزيد من الحذر.

الأخطاء الشائعة

• الاستقراء بعيدًا خارج النطاق المعروف ومعاملة النتيجة بنفس ثقة الاستيفاء. قيمة مستهدفة خارج نقطتيك المعروفتين تفترض استمرار الاتجاه دون تغيير — افتراض أكثر خطورة بكثير من تقدير قيمة تقع فعليًا بينهما.
• افتراض علاقة خط مستقيم دون التحقق مما إذا كانت العملية الحقيقية خطية فعلاً. عمليات مثل النمو المركب أو التسارع تنحني بدلاً من اتباع خط مستقيم، لذا يمكن أن يكون التقدير الخطي خاطئًا بشكل ملحوظ، خاصة بعيدًا عن النقاط المعروفة.
• الخلط بين أي نقطة معروفة هي أيها. تبديل x1/y1 بـ x2/y2 في الصيغة ينتج ميلًا مختلفًا (وخاطئًا) — تحقق مرة أخرى من أن قيم x وy لكل نقطة معروفة أُدخلت معًا بشكل صحيح.
• استخدام نقطتين معروفتين بعيدتين جدًا عن بعضهما عندما لا تكون العلاقة الأساسية خطية. كلما اتسعت الفجوة بين نقطتيك، زادت مساحة انحراف المنحنى عن الخط المستقيم الواصل بينهما — نقاط معروفة أقرب وأكثر صلة تنتج عمومًا تقديرًا أكثر موثوقية.

معلومات مفيدة

• لديك عدة نقاط بيانات بدلاً من نقطتين فقط، وتريد أفضل خط واحد يلائم كلها؟ تتعامل حاسبة حاسبة انحدار المربعات الصغرى مع تلك الحالة الأوسع.
• تحتاج إلى الميل بين نقطتين بدلاً من قيمة مقدرة عند نقطة ثالثة؟ تغطي حاسبة حاسبة المسافة ونقطة المنتصف والميل ذلك مباشرة.