الكسور

الحساب بالكسور

جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة كسرين يدمجهما في نتيجة واحدة مُبسَّطة. أدخل كسرين واختر عملية، وستُعيد هذه الحاسبة النتيجة المُبسَّطة، ومكافئها العشري، وصورة العدد الكسري المختلط عندما تكون النتيجة كسرًا غير حقيقي (البسط أكبر من المقام). لكل كسر أيضًا حقل عدد صحيح اختياري، بحيث يمكن إدخال عدد كسري مختلط مثل 1 1/2 مباشرة بدلاً من تحويله أولاً إلى الكسر غير الحقيقي 3/2.

يذهب وضع ثانٍ، “تحويل عدد عشري إلى كسر”، في الاتجاه الآخر: أدخل أي عدد عشري واحصل على أبسط كسر مكافئ له — مفيد لتحويل قياس أو ناتج عشري لحاسبة إلى كسر يمكنك فعليًا تحديده على شريط قياس أو وصفة.

الصيغة

الجمع أو الطرح يجد أولاً مقامًا مشتركًا بالضرب التبادلي:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

الضرب يضرب مباشرة عبر الصفوف:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

القسمة تضرب في مقلوب الكسر الثاني:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

تُختزل كل نتيجة بعد ذلك إلى أبسط صورة لها بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر.

تحويل عدد عشري إلى كسر يستخدم توسيع الكسر المستمر — الطريقة القياسية لإيجاد أبسط كسر يُقارب بشكل وثيق عددًا عشريًا معينًا، بدلاً من مجرد قراءة الأرقام بعد الفاصلة العشرية (والذي سيُحوّل عددًا عشريًا متكررًا مثل 0.333333 إلى كسر قبيح مثل 333333/1000000 بدلاً من 1/3 الفعلي الذي يُقاربه).

مثال محلول

جمع 1/2 و1/3:

1. المقام المشترك: $2 \times 3 = 6$.
2. البسط: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$.
3. النتيجة: $\frac{5}{6}$ (في أبسط صورة بالفعل) — حوالي 0.8333.

جمع 1/2 و2/3 بدلاً من ذلك يُعطي كسرًا غير حقيقي: $\frac{7}{6}$، والذي تُظهره هذه الحاسبة أيضًا كعدد كسري مختلط 1 1/6.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• التبسيط إلى أبسط صورة يعطي دائمًا قيمة معادلة، وليس مجرد رقم “أنظف مظهرًا”. تبسيط 5/10 إلى 1/2 لا يُغيّر أي جزء من كل تُمثّله — كلاهما يصف نفس الكمية بالضبط، فقط معبّرًا عنها بأرقام أصغر، وهذا سبب تفضيل الصورة المبسطة بالاصطلاح وليس بالضرورة.
• الضرب التبادلي للجمع أو الطرح يعمل مع أي كسرين، لكنه ليس دائمًا الطريقة الأكفأ. إيجاد أصغر مقام مشترك (بدلاً من ضرب المقامين معًا ببساطة، وهو ما تفعله طريقة الضرب التبادلي في هذه الحاسبة قبل التبسيط) يمكن أحيانًا أن يتضمن أرقامًا وسيطة أصغر — لكن كلتا الطريقتين تتقاربان دائمًا على نفس الإجابة النهائية المبسطة.
• الكسر السلبي يتبع نفس القواعد، مع تتبع الإشارة عبر كل عملية. ضرب أو قسمة كسور بإشارات مختلفة (واحد موجب، وآخر سالب) يُنتج نتيجة سالبة، متبعًا نفس قواعد الإشارة للضرب والقسمة العاديين.
• قسمة كسر هي نفسها ضربه في مقلوبه، قاعدة تستحق التذكر بما يتجاوز هذه الحاسبة فقط. يأتي اختصار “اقلب واضرب” هذا لقسمة الكسور مباشرة من تعريف القسمة كعكس الضرب، وينطبق سواء كنت تقسم يدويًا أو تستخدم أداة مثل هذه.

الأخطاء الشائعة

• جمع أو طرح الكسور بدمج البسط والمقام مباشرة. كما ذُكر أعلاه، تحتاج الكسور إلى مقام مشترك قبل أن يمكن دمج البسط — جمع 1/2 + 1/3 كـ (1+1)/(2+3) يعطي الإجابة الخاطئة (2/5) بدلاً من الإجابة الصحيحة 5/6.
• نسيان تبسيط النتيجة النهائية. كما ذُكر أعلاه، الإجابة غير المبسطة مثل 4/8 صحيحة رياضيًا لكنها ليست في الصورة الأبسط المتعارف عليها (1/2) التي تتوقعها معظم السياقات — اختزل دائمًا بالقاسم المشترك الأكبر قبل معاملة النتيجة كنهائية.
• قلب الكسر الخطأ عند القسمة. كما ذُكر أعلاه، القسمة على كسر تعني الضرب في مقلوب ذلك الكسر — قلب الكسر الأول بدلاً من الثاني يُنتج مقلوب الإجابة الصحيحة، وليس الإجابة نفسها.
• تحويل عدد عشري إلى كسر بمجرد قراءة الأرقام بعد الفاصلة العشرية. كما ذُكر أعلاه، هذا يعمل مع عدد عشري منتهٍ لكنه يُنتج كسرًا كبيرًا غير مبسط وغير ضروري لعدد متكرر — 0.333333 مقروءة حرفيًا تصبح 333333/1000000 بدلاً من 1/3 الفعلي الذي تُقاربه.

معلومات مفيدة

• العدد الكسري المختلط وصورته ككسر غير حقيقي يُمثلان دائمًا نفس القيمة — 1 1/2 و3/2 طريقتان مختلفتان لكتابة نفس الكمية بالضبط، مفيدتان لسياقات مختلفة (تُقرأ الوصفة بشكل أكثر طبيعية كعدد كسري مختلط، بينما غالبًا ما تكون الرياضيات الإضافية أسهل مع كسر غير حقيقي).
• القاسم المشترك الأكبر المستخدم لتبسيط كسر هو نفس القاسم المشترك الأكبر الذي تحسبه حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر — يستحق التحقق منها هناك إذا أردت رؤية هذه الخطوة محسوبة بمفردها.
• تتناسب هذه الحاسبة بشكل طبيعي مع حاسبة النسبة (لمقارنة كميتين بدلاً من دمجهما) وحاسبة القسمة المطولة (لعملية القسمة التي يأتي منها المكافئ العشري للكسر).