معادلة الدرجة الثانية

حل ax² + bx + c = 0 لكل قيمة لـ x

تحل الصيغة التربيعية أي معادلة على شكل ax² + bx + c = 0 من أجل x، باستخدام معاملات المعادلة الثلاثة فقط. أدخل a وb وc، ويجد هذا الحاسبة كل قيمة لـ x تجعل المعادلة صحيحة — بما في ذلك الحالة التي تتضمن فيها الإجابة أعدادًا مركبة بدلاً من الأعداد الحقيقية.

المعادلة التربيعية لها دائمًا حلان بالضبط عند العد بشكل صحيح: عددان حقيقيان متمايزان، أو عدد حقيقي واحد مُعدود مرتين (“جذر مكرر”)، أو زوج من الأعداد المركبة. تعتمد الحالة المطبقة كليًا على إشارة المميّز (الجزء تحت الجذر التربيعي) — يخبرك هذا الحاسبة بأي حالة حصلت عليها، وليس فقط الأرقام الخام.

الصيغة

بالنسبة لـ $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (مع $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

يُسمى الحد تحت الجذر التربيعي، $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$، المميّز:

مثال محلول

بالنسبة لـ $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$، $\vB{b}=-3$، $\vC{c}=2$):

1. المميّز: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$، وهو موجب، لذا يوجد جذران حقيقيان متمايزان.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ أو $x = \frac{2}{2} = 1$.

التحقق: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ و$(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — كلا الحلين صحيحان.

العوامل الرئيسية التي يجب مراعاتها

• حلول المعادلة التربيعية هي بالضبط حيث يتقاطع بيانها (قطع مكافئ) مع محور x. جذران حقيقيان متمايزان يعنيان أن القطع المكافئ يتقاطع مع محور x عند نقطتين؛ جذر مكرر يعني أنه يلامس المحور فقط عند نقطة واحدة (رأسه)؛ الجذور المركبة تعني أن القطع المكافئ لا يلامس محور x على الإطلاق، ويبقى بالكامل فوقه أو تحته.
• المميّز وحده يخبرك بطبيعة الحلول قبل إجراء أي حساب إضافي. التحقق مما إذا كانت $b^2 - 4ac$ موجبة أو صفرًا أو سالبة طريقة سريعة لمعرفة مسبقًا ما إذا كانت المعادلة تمتلك حلين حقيقيين، أو حلًا واحدًا مكررًا، أو زوجًا مترافقًا مركبًا، دون الحاجة إلى إكمال بقية الصيغة أولاً.
• معامل a في المعادلة التربيعية لا يمكن أبدًا أن يكون صفرًا، وإلا توقفت عن كونها تربيعية. إذا كانت a = 0، يختفي حد $x^2$ تمامًا وتصبح المعادلة خطية (حل واحد على الأكثر، يُوجد بجبر بسيط) بدلاً من تربيعية — هذا هو سبب أن الصيغة التربيعية نفسها صالحة، ومطلوبة، فقط عندما تكون a غير صفرية.
• تأتي الجذور المركبة دائمًا في أزواج مترافقة لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية. عندما يكون المميّز سالبًا، يأخذ الحلان دائمًا الشكل $p + qi$ و$p - qi$ (أجزاء حقيقية متطابقة، أجزاء تخيلية متعاكسة الإشارة) — هذا الاقتران نتيجة مباشرة لعلامة ± في الصيغة المطبَّقة على رقم سالب تحت الجذر التربيعي.

أخطاء شائعة

• نسيان علامة ± والإبلاغ عن جذر واحد فقط. تعني علامة ± في الصيغة التربيعية أن هناك حسابين منفصلين يجب إجراؤهما (أحدهما بـ + والآخر بـ -) — التوقف بعد الأول يفوّت نصف الإجابة كلما لم يكن المميّز صفرًا تمامًا.
• التعامل مع مميّز سالب كـ”لا حل” بدلاً من حل مركب. المميّز السالب يعني أن المعادلة ليس لها حل حقيقي، لكن لا يزال لها حلان مركبان صالحان — المعادلة ليست غير قابلة للحل، بل فقط غير قابلة للحل ضمن الأعداد الحقيقية.
• إدخال a = 0 وتوقع إجابة تربيعية. بدون a غير صفرية، تكون المعادلة خطية، وليست تربيعية، والقسمة على 2a في الصيغة غير معرّفة — تحتاج المعادلة الخطية إلى جبر بسيط بدلاً من ذلك.

معلومات مفيدة

• تحتاج فقط إلى جذر تربيعي أو جذر من الدرجة النونية بدلاً من حل معادلة كاملة؟ حاسبة الجذر التربيعي / الجذر النوني يحسب الجذور التربيعية والجذور من الدرجة النونية مباشرة.
• تتعامل مع الأسس بمفردها؟ حاسبة الأسس يحسب القوى والجذور.
• تحتاج حاسبة أوسع لدوال المثلثات أو اللوغاريتمات أو دوال أخرى تتجاوز هذه المعادلة؟ الحاسبة العلمية يتعامل مع مجموعة كاملة من الحسابات العلمية.