Matrix

Anvendelse af Matrixalgebra-Regler på et Gitter, Man Kan Ændre Størrelsen På

En matrix er et rektangulært gitter af tal, der kan lægges sammen, trækkes fra, ganges eller transformeres som en enkelt enhed, og følger sit eget sæt af algebraregler adskilt fra almindelig aritmetik. Vælg en operation, byg Matrix A (og Matrix B, hvis operationen kræver det) ved brug af +/- række- og kolonneknapperne til at ændre størrelsen på hvert gitter til de dimensioner, du har brug for, og denne beregner anvender den matchende regel.

Addition og subtraktion kræver, at begge matricer har præcis samme størrelse. Multiplikation kræver, at Matrix A’s kolonneantal matcher Matrix B’s rækkeantal (resultatet får Matrix A’s rækkeantal og Matrix B’s kolonneantal). Determinanten findes kun for en kvadratisk matrix (samme antal rækker og kolonner). Transponering virker på en matrix af enhver form, og bytter dens rækker og kolonner om.

Denne beregner forsøger ikke rækkereduktion, matrixinverser eller egenværdier — et genuint anderledes, meget større projekt end operationerne her.

Formlen

Eksemplerne nedenfor bruger 2x2-matricer til klart at illustrere hver regel — de samme regler udvides direkte til enhver størrelse matrix, gitteret ovenfor understøtter. Lad Matrix A have indtastninger $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ og Matrix B have indtastninger $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$, hver skrevet som

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• Addition/Subtraktion kombinerer matchende positioner én ad gangen: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Multiplikation er IKKE elementvis — hver indtastning af resultatet er et “række gange kolonne”-prikprodukt: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Determinant er et enkelt tal, der beskriver, hvor meget matricen skalerer areal: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• Transponering flipper matricen over dens hoveddiagonal, og bytter de to off-diagonal-indtastninger: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Eksempel

Ved brug af $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ og $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$:

1. Addition: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. Multiplikation: den øverste venstre indtastning er $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, den øverste højre er $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, den nederste venstre er $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$, og den nederste højre er $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$, hvilket giver $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.
3. Determinant af A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.

Vigtige Faktorer At Overveje

• Matrixmultiplikation er generelt IKKE kommutativ — rækkefølgen betyder noget. I modsætning til almindelig talmultiplikation er AB som regel ikke lig med BA for matricer, og den ene rækkefølge er måske ikke engang matematisk gyldig, hvis dimensionerne ikke passer sammen på den rigtige måde — hold altid styr på, hvilken matrix der kommer først.
• En determinant på nul betyder, at en kvadratisk matrix er “singulær” og ikke har nogen invers. Dette er en almindelig grund til, at en matrixoperation andetsteds fejler (som at forsøge at løse et lineært ligningssystem) — en nulforskellig determinant er nødvendig, for at matricen er inverterbar.
• Matricer er standardværktøjet bag lineære transformationer inden for computergrafik, fysik og teknik. At rotere, skalere og forskyde en 2D- eller 3D-form (almindeligt inden for spiludvikling og animation) udtrykkes alle som matrixmultiplikation mod et sæt koordinatpunkter.
• Matrixdimensioner skrives altid rækker × kolonner, og denne rækkefølge betyder noget for kompatibilitet. En 2×3-matrix har 2 rækker og 3 kolonner — for at multiplikation skal være gyldig, skal den første matrix’ kolonneantal matche den anden matrix’ rækkeantal, hvilket er grunden til, at AB kan være gyldig, mens BA ikke er, selv når begge matricer ellers er kompatible i form.

Almindelige Fejl

• At gange matricer element for element i stedet for at bruge række-gange-kolonne-reglen. Matrixmultiplikation er ikke den samme operation som addition eller subtraktion — hver resultatindtastning er et prikprodukt af en hel række og en hel kolonne, ikke en enkelt parvis multiplikation.
• At antage, at AB og BA giver samme resultat. Matrixmultiplikation er generelt ikke kommutativ, og at vende rækkefølgen om kan give et helt andet resultat — eller endda slet ikke være matematisk gyldigt, hvis dimensionerne ikke længere passer sammen.
• At forsøge at finde en determinant for en ikke-kvadratisk matrix. Determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer (samme antal rækker og kolonner) — en 2×3- eller 3×2-matrix har simpelthen ingen.
• At blande matricens dimensioner sammen, når man tjekker kompatibilitet. En matrix’ størrelse er altid rækker × kolonner, i den rækkefølge — at forveksle, hvilket tal der er hvilket, er en almindelig kilde til “hvorfor virker denne multiplikation ikke”-forvirring.

Godt At Vide

• Arbejder du med et ligningssystem, som en matrix repræsenterer? Andengradsligning Beregner håndterer tilfældet med én variabel direkte, hvis det er det, du faktisk har brug for.
• Har du brug for trigonometriske, logaritmiske eller andre funktioner ved siden af matrixoperationer? Videnskabelig Lommeregner dækker det bredere værktøjssæt.
• Arbejder du med et stort datasæt i stedet for en lille matrix? Statistik Beregner beregner middelværdi, median og standardafvigelse direkte ud fra en liste af tal.