Andengradsligning

Sådan Løses ax² + bx + c = 0 for Hver Værdi af x

Løsningsformlen løser enhver ligning på formen ax² + bx + c = 0 for x, ved kun at bruge ligningens tre koefficienter. Indtast a, b og c, og denne beregner finder hver værdi af x, der gør ligningen sand — inklusive tilfældet hvor svaret involverer komplekse tal frem for reelle.

En andengradsligning har altid præcis to løsninger, når de tælles korrekt: to distinkte reelle tal, ét reelt tal talt to gange (en “gentaget rod”), eller et par komplekse tal. Hvilket tilfælde der gælder, afhænger helt af fortegnet på diskriminanten (delen under kvadratroden) — denne beregner fortæller dig, hvilket du har, ikke bare de rå tal.

Formlen

For $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (med $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Termen under kvadratroden, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, kaldes diskriminanten:

Eksempel

For $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, hvilket er positivt, så der er to distinkte reelle rødder.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ eller $x = \frac{2}{2} = 1$.

Tjek: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ og $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — begge løsninger går op.

Vigtige Faktorer At Overveje

• En andengradslignings løsninger er præcis, hvor dens graf (en parabel) krydser x-aksen. To distinkte reelle rødder betyder, at parablen krydser x-aksen på to punkter; en gentaget rod betyder, at den blot rører aksen på ét punkt (dens toppunkt); komplekse rødder betyder, at parablen aldrig rører x-aksen overhovedet, og forbliver helt over eller under den.
• Diskriminanten alene fortæller dig løsningernes NATUR, før du foretager yderligere beregning. At tjekke, om $b^2 - 4ac$ er positiv, nul eller negativ, er en hurtig måde at vide på forhånd, om en ligning har to reelle løsninger, én gentaget løsning eller et komplekst-konjugeret par, uden at skulle fuldføre resten af formlen først.
• En andengradslignings a-koefficient kan aldrig være nul, ellers holder den op med at være af anden grad. Hvis a = 0, forsvinder $x^2$-leddet helt, og ligningen bliver lineær (højst én løsning, fundet ved simpel algebra) i stedet for af anden grad — dette er grunden til, at selve løsningsformlen kun er gyldig, og kun nødvendig, når a er forskellig fra nul.
• Komplekse rødder kommer altid i konjugerede par for en andengradsligning med reelle koefficienter. Når diskriminanten er negativ, har de to løsninger altid formen $p + qi$ og $p - qi$ (identiske realdele, modsat fortegnede imaginærdele) — denne parring er en direkte konsekvens af ±‘et i formlen anvendt på et negativt tal under kvadratroden.

Almindelige Fejl

• At glemme ± og kun angive én rod. Løsningsformlens ± betyder, at der er to separate beregninger at lave (én med +, én med -) — at stoppe efter den første går glip af halvdelen af svaret, når diskriminanten ikke er præcis nul.
• At behandle en negativ diskriminant som “ingen løsning” i stedet for en kompleks løsning. En negativ diskriminant betyder, at ligningen ikke har nogen REEL løsning, men den har stadig to gyldige komplekse løsninger — ligningen er ikke uløselig, bare ikke løselig inden for de reelle tal.
• At indtaste a = 0 og forvente et andengradssvar. Uden et a forskelligt fra nul er ligningen lineær, ikke af anden grad, og formlens division med 2a er udefineret — en lineær ligning kræver simpel algebra i stedet.

Godt At Vide

• Har du kun brug for en kvadratrod eller n’te rod frem for at løse en hel ligning? Kvadratrod / N'te Rod Beregner beregner kvadratrødder og n’te rødder direkte.
• Arbejder du med potenser for sig selv? Eksponent Beregner beregner potenser og rødder.
• Har du brug for en bredere beregner til trigonometri, logaritmer eller andre funktioner ud over denne ligning? Videnskabelig Lommeregner håndterer en bred vifte af videnskabelige beregninger.