Beregning af SFD og MFM
Den Største Fælles Divisor (SFD, også kaldet SFF) for et sæt tal er det største tal, der går op i dem alle uden rest, og det Mindste Fælles Multiplum (MFM) er det mindste tal, som de alle går op i uden rest. Indtast to eller flere hele tal, og denne beregner finder begge øjeblikkeligt.
Metoden
SFD findes ved brug af Euklids algoritme — en metode, der går over 2.000 år tilbage: divider gentagne gange det større tal med det mindre, og erstat det større med resten, indtil resten når nul. Den sidste værdi, der ikke er nul, er SFD.
Når SFD er kendt, følger MFM for to tal direkte:
For mere end to tal anvender denne beregner begge metoder parvis på tværs af hele listen.
Eksempel
At finde SFD og MFM for 12 og 18:
- Euklids algoritme: 18 ÷ 12 giver en rest på 6; 12 ÷ 6 giver en rest på 0. SFD er .
- .
Vigtige Faktorer At Overveje
- To tal med en SFD på 1 kaldes “indbyrdes primiske”, en genuint nyttig klassifikation. Når SFD er 1, deler de to tal ingen fælles faktorer ud over 1 — dette betyder noget inden for områder som kryptografi og talteori, og det betyder også, at deres MFM simpelthen er deres produkt.
- Euklids algoritme er dramatisk hurtigere end at liste alle faktorer for store tal. At finde SFD ved at liste alle faktorer for hvert tal og sammenligne dem bliver upraktisk for store tal — Euklids algoritme finder svaret på blot en håndfuld trin, uanset hvor store tallene er, hvilket er præcis grunden til, at den er standardmetoden efter over 2.000 år.
- SFD og MFM generaliserer fint til mere end to tal, ved brug af den samme parvise byggeblok. At anvende to-tals-formlen på tværs af en liste — SFD(SFD(a,b), c), og tilsvarende for MFM — udvider korrekt begge begreber til et hvilket som helst antal input, hvilket er præcis, hvordan denne beregner håndterer en liste længere end to tal.
- Disse begreber optræder konstant uden for ren matematik, i planlægnings- og ressourcedelingsproblemer. Ud over at forenkle brøker besvarer MFM “hvornår justerer to gentagne begivenheder sig næste gang” (som busplaner eller blinkende lys), og SFD besvarer “hvad er den største ligestore gruppe, jeg kan dele disse i” (som at dele genstande i identiske bundter uden noget til overs).
Almindelige Fejl
- At blande sammen, hvilken der er SFD, og hvilken der er MFM. Navnene lyder ens og er nemme at bytte om ved en fejl — SFD er altid det mindste af de to resultater (en fælles divisor, så det kan ikke overstige det mindste input-tal), mens MFM altid er det største (et fælles multiplum, så det er mindst lige så stort som det største input-tal).
- At antage, at SFD skal være et af de tal, der sammenlignes. Som dækket ovenfor er SFD det største tal, der går op i hvert input uden rest — for 12 og 18 er det 6, ikke 12 eller 18 selv, selvom begge disse også går op i mindst ét af inputtene.
- At liste hver faktor manuelt for store tal i stedet for at bruge Euklids algoritme. Som dækket ovenfor bliver dette langsomt og fejlbehæftet, efterhånden som tallene vokser — Euklids algoritme, som denne beregner bruger, finder det samme svar på blot en håndfuld trin uanset størrelse.
- At gange de to tal sammen for at få MFM uden først at dividere med SFD. Som dækket ovenfor
giver simpel multiplikation kun det korrekte MFM, når de to tal er indbyrdes primiske (SFD på
- — for tal, der deler en fælles faktor, producerer springet over divisionen med SFD et multiplum af det sande MFM, ikke selve MFM.
Godt At Vide
- At forkorte en brøk til dens simpleste form er præcis en SFD-beregning — Brøk Beregneren forenkler brøker ved hjælp af den samme SFD, som denne beregner beregner direkte.
- At finde en fælles nævner for at lægge sammen eller trække brøker fra er præcis en MFM-beregning — samme sammenhæng i den anden retning.
- Primfaktorisering Beregneren og Forhold Beregneren læner sig begge op ad den samme fælles-faktor-idé fra en anden vinkel — den ene opdeler et tal i dets primtalsbyggeblokke, den anden reducerer et forhold til dets simpleste heltalsform.