Brøk

Beregning med Brøker

At lægge sammen, trække fra, gange eller dividere to brøker kombinerer dem til et enkelt forenklet resultat. Indtast to brøker og vælg en operation, og denne beregner returnerer det forenklede resultat, dets decimalækvivalent, og en blandet-tal-form, når resultatet er en uægte brøk (tæller større end nævner). Hver brøk har også et valgfrit heltal-felt, så et blandet tal som 1 1/2 kan indtastes direkte i stedet for først at konvertere det til den uægte brøk 3/2.

En anden tilstand, “Konverter et decimaltal til en brøk,” går den modsatte vej: indtast et hvilket som helst decimaltal og få dets simpleste tilsvarende brøk tilbage — nyttigt til at gøre en måling eller en beregners decimaludskrift til en brøk, du faktisk kan markere på et målebånd eller i en opskrift.

Formlen

At lægge sammen eller trække fra finder først en fælles nævner ved kryds-gange:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

At gange ganger lige på tværs:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

At dividere ganger med den anden brøks reciprokke:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

Hvert resultat reduceres derefter til sin simpleste form ved at dividere både tæller og nævner med deres største fælles divisor.

At konvertere et decimaltal til en brøk bruger en kædebrøkudvidelse — standardmetoden til at finde den simpleste brøk, der tæt tilnærmer et givet decimaltal, snarere end blot at aflæse cifre efter decimalpunktet (hvilket ville gøre et periodisk decimaltal som 0,333333 til en grim brøk som 333333/1000000 i stedet for den faktiske 1/3, det tilnærmer).

Eksempel

At lægge 1/2 og 1/3 sammen:

1. Fælles nævner: $2 \times 3 = 6$.
2. Tæller: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$.
3. Resultat: $\frac{5}{6}$ (allerede i simpleste form) — cirka 0,8333.

At lægge 1/2 og 2/3 sammen giver i stedet en uægte brøk: $\frac{7}{6}$, som denne beregner også viser som det blandede tal 1 1/6.

Vigtige Faktorer At Overveje

• At forenkle til laveste fælles form giver altid en ækvivalent værdi, ikke bare et “pænere-udseende” tal. At reducere 5/10 til 1/2 ændrer ikke, hvilken andel af en helhed det repræsenterer — begge beskriver præcis samme mængde, blot udtrykt med mindre tal, hvilket er grunden til, at den forenklede form foretrækkes af konvention, ikke af nødvendighed.
• Kryds-gange for at lægge sammen eller trække fra virker for alle to brøker, men er ikke altid den mest effektive metode. At finde den mindste fælles nævner (i stedet for blot at gange de to nævnere sammen, hvilket denne beregners kryds-gange-tilgang gør, før den forenkler) kan nogle gange involvere mindre mellemliggende tal — men begge metoder konvergerer altid mod samme endelige, forenklede svar.
• En negativ brøk følger de samme regler, med fortegnet sporet gennem hver operation. At gange eller dividere brøker med forskellige fortegn (en positiv, en negativ) giver et negativt resultat, som følger de samme fortegnsregler som almindelig multiplikation og division.
• At dividere med en brøk er det samme som at gange med dens reciprokke, en regel værd at huske ud over blot denne beregner. Denne “vend og gang”-genvej til brøkdivision kommer direkte fra definitionen af division som det omvendte af multiplikation, og gælder, uanset om du dividerer i hånden eller bruger et værktøj som dette.

Almindelige Fejl

• At lægge sammen eller trække brøker fra ved direkte at kombinere tællere og nævnere. Som dækket ovenfor skal brøker have en fælles nævner, før tællerne kan kombineres — at lægge 1/2 + 1/3 sammen som (1+1)/(2+3) giver det forkerte svar (2/5) i stedet for det korrekte 5/6.
• At glemme at forenkle det endelige resultat. Som dækket ovenfor er et uforenklet svar som 4/8 matematisk korrekt, men ikke i den konventionelt simpleste form (1/2), som de fleste sammenhænge forventer — reducer altid med den største fælles divisor, før du behandler et resultat som endeligt.
• At vende den forkerte brøk om ved division. Som dækket ovenfor betyder division med en brøk, at man ganger med den brøks reciprokke — at vende den første brøk om i stedet for den anden giver den reciprokke af det korrekte svar, ikke selve svaret.
• At konvertere et decimaltal til en brøk ved blot at aflæse cifrene efter decimalpunktet. Som dækket ovenfor virker det for et afsluttende decimaltal, men giver en unødvendigt stor, uforenklet brøk for et periodisk — 0,333333 læst bogstaveligt bliver 333333/1000000 i stedet for den faktiske 1/3, det tilnærmer.

Godt At Vide

• Et blandet tal og dets uægte-brøk-form repræsenterer altid samme værdi — 1 1/2 og 3/2 er to forskellige måder at skrive en identisk mængde på, nyttige til forskellige sammenhænge (en opskrift læses mere naturligt som et blandet tal, mens yderligere matematik ofte er lettere med en uægte brøk).
• Den største fælles divisor, der bruges til at forenkle en brøk, er den samme SFF, som SFF/MFM-beregneren beregner — værd at tjekke der, hvis du vil se det trin udregnet for sig selv.
• Denne beregner passer naturligt sammen med Forholdsberegneren (til at sammenligne to mængder i stedet for at kombinere dem) og Division-med-rest-beregneren (til den divisionsproces, som en brøks decimalækvivalent kommer fra).