Kreis

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Enthält Ihre Eingaben und Ergebnisse für diese Berechnung sowie alle zusätzlichen Berechnungen, die Sie verglichen haben.

So Funktionieren Kreisgeometrie-Berechnungen

Radius, Durchmesser, Kreisumfang und Fläche eines Kreises sind alle mathematisch miteinander verbunden — kennt man einen davon, lassen sich die anderen drei finden. Wählen Sie, welchen Sie bereits kennen, geben Sie dessen Wert ein, und dieser Rechner löst sofort nach dem Rest.

Die Formeln

d = 2r \qquad C = 2\pi r = \pi d \qquad A = \pi r^{2}

wobei $r$ der Radius ist, $d$ der Durchmesser, $C$ der Kreisumfang und $A$ die Fläche. Diese vier Formeln haben keine einzelne „Eingabe“-Variable — jede kann genauso gut nach dem Radius auflösen wie von ihm ausgehen — daher bleiben sie hier ungefärbt, statt einer Variable eine feste Farbe zuzuweisen, die sie nicht konsistent in jede Richtung spielen würde.

Das Rückwärtsarbeiten von Durchmesser, Kreisumfang oder Fläche löst zuerst nach dem Radius auf und leitet dann alles andere daraus ab:

r = \frac{d}{2} \qquad r = \frac{C}{2\pi} \qquad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

Wichtige Einflussfaktoren

Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius, aber der Kreisumfang wächst linear. Eine Verdopplung des Radius eines Kreises vervierfacht seine Fläche, verdoppelt aber nur seinen Umfang — wichtig zu bedenken, wenn Sie zwei unterschiedlich große Kreise vergleichen, da die Beziehung für beide Größen nicht gleich ist.
π ist eine irrationale Zahl, daher ist jedes Ergebnis hier technisch eine Näherung. Dieser Rechner verwendet intern einen hochpräzisen Wert von π und liefert Ergebnisse, die auf viele Nachkommastellen genau sind — aber keine Berechnung mit π kann in Dezimalform jemals mathematisch „exakt“ sein, da sich die Ziffern von π nie wiederholen oder enden.
Dieser Rechner geht von einem perfekten, flachen Kreis aus. Reale runde Objekte (ein Rohr, ein Rad, ein Teller) können leichte Unregelmäßigkeiten aufweisen, die ihre tatsächliche Fläche oder ihren Umfang leicht von einem mathematisch perfekten Kreis mit dem gemessenen Radius abweichen lassen — für die meisten praktischen Zwecke nah genug, aber wichtig zu wissen, wenn extreme Präzision gefragt ist.
Vom Durchmesser auszugehen ist oft praktischer als vom Radius. Viele reale Messungen (der auf der Verpackung angegebene Durchmesser eines Rohrs, ein quer gemessener runder Tisch) lassen sich einfacher direkt als Durchmesser erfassen — dieser Rechner akzeptiert den Durchmesser genauso bereitwillig als Ausgangspunkt wie den Radius.

Beispielrechnung

Ein Kreis mit einem Radius von 5 Einheiten:

Durchmesser: $d = 2 \times 5 = 10$ .
Kreisumfang: $C = 2\pi \times 5 \approx 31,42$ .
Fläche: $A = \pi \times 5^{2} \approx 78,54$ .

Häufige Fehler

Den Durchmesser in das Radius-Feld eingeben, oder umgekehrt. Dies ist der häufigste Fehler — ein Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius, sodass eine Verwechslung jedes andere Ergebnis um den Faktor 2 (oder 4 bei der Fläche) verfälscht. Prüfen Sie immer, welchen Wert Sie tatsächlich haben, bevor Sie entscheiden, was Sie eingeben.
Vergessen, dass die Fläche den Radius quadriert, nicht verdoppelt. Es liegt nahe anzunehmen, dass ein doppelt so breiter Kreis die doppelte Fläche hat, aber $A = \pi r^{2}$ bedeutet, dass die Fläche mit dem Quadrat des Radius wächst — ein Kreis mit doppeltem Radius hat die vierfache Fläche, nicht die doppelte.
Einheiten zwischen Messungen vermischen. Wenn ein Radius in Zoll gemessen wurde, eine zu vergleichende Fläche aber in Quadratfuß erwartet wird (oder Zentimeter gegenüber Quadratmetern), passen die Zahlen nicht zusammen, solange nicht alles zuerst in dieselbe Einheit umgerechnet wird — dieser Rechner kennt nicht die von Ihnen gemeinte Einheit, nur die eingegebene Zahl.
Annehmen, dass Kreisumfang und Fläche gleich skalieren. Der Kreisumfang skaliert direkt mit dem Radius (Radius verdoppeln, Umfang verdoppelt sich), die Fläche jedoch nicht (Radius verdoppeln, Fläche vervierfacht sich) — warum sich diese beiden Größen unterschiedlich verhalten, erklärt der Abschnitt „Wichtige Einflussfaktoren“ oben.

Wissenswertes

Reale Technik benötigt selten mehr als eine Handvoll Nachkommastellen von π, obwohl π selbst nie endet. Das Jet Propulsion Laboratory (JPL) der NASA hat öffentlich erklärt, dass bereits 15 Nachkommastellen von π ausreichen, um den Umfang des beobachtbaren Universums auf die Breite eines einzigen Wasserstoffatoms genau zu berechnen — dieser Rechner verwendet intern weit mehr Genauigkeit, als jede praktische Kreisberechnung wirklich benötigt, weshalb seine Ergebnisse für jeden realen Anwendungsfall praktisch exakt sind.

Quelle: Standard-Kreisgeometrie.

Häufig Gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen diesem und dem Flächenrechner?

Die Kreis-Option des Flächenrechners akzeptiert immer nur den Radius als Eingabe. Dieser Rechner funktioniert in jede Richtung — geben Sie Radius, Durchmesser, Kreisumfang ODER Fläche ein, und er löst nach den anderen drei, was nützlich ist, wenn Sie den Kreisumfang oder die Fläche kennen, aber nicht direkt den Radius.

Wie finde ich den Radius aus der Fläche?

Da Fläche = π × Radius² gilt, ergibt das Auflösen nach dem Radius: Radius = √(Fläche ÷ π). Dieser Rechner macht das automatisch, wenn Sie „Fläche“ als das auswählen, was Sie kennen.

Was ist der Unterschied zwischen Kreisumfang und Umfang?

Sie bedeuten dasselbe — die gesamte Distanz um die Außenseite —, aber „Kreisumfang“ ist der Begriff speziell für Kreise, während „Umfang“ der allgemeine Begriff für jede Form ist.

Wenn ich den Radius eines Kreises verdopple, verdoppelt sich dann auch seine Fläche?

Nein — eine Verdopplung des Radius vervierfacht die Fläche, da die Fläche mit dem QUADRAT des Radius skaliert (A = πr²). Nur der Kreisumfang und der Durchmesser skalieren direkt und verdoppeln sich mit dem Radius.

Kann ich einen Durchmesser statt eines Radius eingeben?

Ja — wählen Sie „Durchmesser“ als das, was Sie kennen, und geben Sie ihn direkt ein. Viele reale Messungen (der auf der Verpackung angegebene Durchmesser eines Rohrs, ein quer gemessener Tisch) lassen sich einfacher als Durchmesser als als Radius erfassen, und dieser Rechner löst von jedem Ausgangspunkt gleich gut auf.

Wie genau ist der π-Wert, den dieser Rechner verwendet?

Dieser Rechner verwendet die in JavaScript integrierte Konstante Math.PI, die auf etwa 15 signifikante Stellen genau ist — weit mehr Genauigkeit, als jede reale Messung jemals benötigen würde. Der winzige Unterschied zwischen diesem Wert und dem wahren (unendlichen, sich nie wiederholenden) Wert von π ist kleiner als die übliche Rundung einer Messung, sodass er ein reales Ergebnis nie spürbar beeinflusst.

Kann ich das für einen Halbkreis oder einen Kreissektor statt eines vollen Kreises verwenden?

Nicht direkt — dieser Rechner ist speziell für vollständige Kreise gebaut. Die Fläche eines Halbkreises ist genau die Hälfte der Fläche eines vollen Kreises (½πr²), und die Fläche eines Sektors hängt zusätzlich von seinem Winkel ab, sodass die direkte Eingabe eines Halbkreis- oder Sektormaßes für alles außer dem Radius des zugrunde liegenden vollen Kreises ein falsches Ergebnis liefern würde.

Wann ist der Kreisumfang bei einem echten Projekt wichtiger als die Fläche?

Der Kreisumfang ist am wichtigsten, wenn Sie etwas messen oder umwickeln, statt seine Oberfläche zu bedecken — etwa beim Bemessen eines Riemens oder einer Kette, die um eine Riemenscheibe läuft, bei der Wahl der Größe einer Schlauchschelle oder eines Rings, oder bei der Berechnung, wie viel Rand- oder Zierleistenmaterial ein runder Tisch oder Blumenkübel benötigt.