Dreieck

Ein Dreieck Aus Drei Bekannten Werten Lösen

Ein Dreieck ist durch beliebige 3 seiner 6 bestimmenden Werte — seine 3 Seitenlängen und 3 Innenwinkel — vollständig festgelegt, solange mindestens einer davon eine Seite ist. Geben Sie die 3 Werte ein, die Sie bereits kennen (in welcher Einheit auch immer für die Seiten bequem ist — der Rechner rechnet intern um), und er löst den Rest: jede Seite, jeden Winkel, den Umfang, die Fläche, und zwei Klassifizierungen — nach Seitenlängen (gleichseitig, gleichschenklig, oder ungleichseitig) und nach Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, oder stumpfwinklig). Verwenden Sie das Dropdown-Menü „Gesucht Wird“, um auszuwählen, welcher einzelne Wert als Hauptergebnis angezeigt wird; jeder Wert wird trotzdem berechnet und unter „Die Zahlen“ aufgeführt, unabhängig davon, welcher hervorgehoben ist.

Dies sind die klassischen geometrischen Fälle: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SWS), zwei Winkel und eine beliebige Seite (WSW/WWS), oder zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW). Dieser letzte Fall ist im Allgemeinen wirklich mehrdeutig — dieselben zwei Seitenlängen und ein Winkel außerhalb von ihnen können manchmal zu zwei verschiedenen gültigen Dreiecken vervollständigt werden — daher markiert dieser Rechner dies und bittet stattdessen um den eingeschlossenen Winkel oder die dritte Seite, anstatt still zu raten.

Auch nicht jede drei Seitenlängen können tatsächlich ein Dreieck bilden. Die „Dreiecksungleichung“ verlangt, dass jede Seite kürzer ist als die Summe der anderen beiden — drei Trinkhalme der Länge 1, 2 und 10 können einfach nicht so angeordnet werden, dass sie sich an drei Ecken treffen, egal wie Sie sie neigen. Dieser Rechner prüft dies zuerst und erklärt klar, falls die von Ihnen eingegebenen Längen nicht funktionieren.

Die Formel

Die Fläche stammt aus der Heron-Formel, unter Verwendung des Halbumfangs $\vD{s}$ (die Hälfte des Umfangs):

$$\text{Fläche} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

Jeder Winkel stammt aus dem Kosinussatz, gelöst nach dem Winkel gegenüber einer gegebenen Seite — zum Beispiel der Winkel gegenüber Seite a:

$$\text{Winkel A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

Dieselbe Formel, mit rotierten Seiten, ergibt die Winkel B und C. Alle drei Winkel summieren sich immer zu genau 180°.

Beispielrechnung

Ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 9:

1. Halbumfang: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. Fläche: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26,83$.
3. Winkel gegenüber der 7er-Seite: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48,19°$.
4. Winkel gegenüber der 8er-Seite: $\approx 58,41°$.
5. Winkel gegenüber der 9er-Seite: $\approx 73,40°$ — der größte Winkel, aber immer noch unter 90°.

Alle drei Seiten haben unterschiedliche Längen und jeder Winkel ist unter 90°, daher ist dieses Dreieck ungleichseitig und spitzwinklig.

Wichtige Einflussfaktoren

• Die beiden Dreiecksklassifikationssysteme (nach Seiten und nach Winkeln) sind vollständig unabhängig voneinander. Ein Dreieck ist immer genau eines von gleichseitig/gleichschenklig/unregelmäßig UND genau eines von spitz-/recht-/stumpfwinklig — diese beiden Bezeichnungen beschreiben echt unterschiedliche Eigenschaften, sodass ein Dreieck korrekt beide Bezeichnungen gleichzeitig erhält (z. B. ist „gleichschenklig und stumpfwinklig” eine völlig gültige Kombination).
• Der SSW-Fall (Seite-Seite-Winkel) ist eine bekannte echte Mehrdeutigkeit in der Dreiecksgeometrie, keine Eigenart dieses Rechners. Bei gegebenen zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel ist es mathematisch möglich, dass null, eins oder zwei verschiedene Dreiecke diese exakten Maße erfüllen — dies ist eine echte Eigenschaft der Dreiecksgeometrie (manchmal in Trigonometriekursen der „mehrdeutige Fall” genannt), weshalb dieser Rechner nach einer anderen Kombination von Eingaben fragt, statt stillschweigend zu raten.
• Die Dreiecksungleichung ist ein schneller Weg zu prüfen, ob drei gegebene Längen ein echtes Dreieck bilden können, bevor weiter gerechnet wird. Jede Seite muss strikt kürzer sein als die Summe der anderen beiden — schlägt diese Prüfung fehl, existiert kein gültiges Dreieck mit diesen drei Längen, unabhängig davon, wie sie angeordnet sind.
• Die drei Innenwinkel JEDES Dreiecks summieren sich immer zu genau 180 Grad, eine feste geometrische Tatsache, die als interne Konsistenzprüfung genutzt wird. Sobald zwei Winkel bekannt sind, ist der dritte automatisch durch Subtraktion von 180° bestimmt — diese feste Summeneigenschaft ist genau der Grund, warum die Kenntnis von nur zwei Winkeln (plus einer beliebigen Seite) genug Information ist, um ein Dreieck vollständig zu lösen.

Häufige Fehler

• Drei Winkel ohne jede Seitenlänge eingeben. Drei Winkel allein legen nur die Form eines Dreiecks fest, nicht seine Größe — unendlich viele Dreiecke teilen sich dieselben drei Winkel, skalieren aber unterschiedlich — daher ist immer mindestens eine Seitenlänge nötig, um tatsächlich eine Fläche und Seitenlängen zu erhalten, nicht nur eine Form.
• Verwechseln, welcher Winkel im SWS-Fall „eingeschlossen” ist. Der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten ist derjenige, der für den Kosinussatz zählt — ein Winkel von anderswo im Dreieck erzeugt stattdessen den echt mehrdeutigen SSW-Fall, den dieser Rechner markiert, statt zu raten.
• Annehmen, dass beliebige drei positive Zahlen ein Dreieck bilden können. Eine Menge von Längen, die die Dreiecksungleichung nicht erfüllt (eine Seite so lang wie oder länger als die anderen beiden zusammen), beschreibt überhaupt kein echtes Dreieck, egal wie die Zahlen angeordnet sind.

Gut zu Wissen

• Arbeiten Sie mit der Fläche oder den Seitenlängen eines Dreiecks als Teil einer größeren Form? Flächenrechner deckt die Fläche für eine Reihe gängiger 2D-Formen über Dreiecke hinaus ab.
• Brauchen Sie stattdessen den Abstand oder die Steigung zwischen zwei Koordinatenpunkten statt drei bekannten Dreieckswerten? Rechner für Entfernung, Mittelpunkt und Steigung übernimmt das direkt.