Permutaciones y Combinaciones

Contar Ordenamientos y Selecciones de un Grupo

Una permutación (nPr) cuenta de cuántas formas se pueden ordenar r elementos de un total de n donde el orden importa, mientras que una combinación (nCr) cuenta de cuántas formas se pueden elegir r elementos de un total de n donde el orden no importa. Ingresa un número total de elementos (n) y cuántos estás eligiendo (r), y esta calculadora encuentra ambas respuestas relacionadas a la vez.

Las fórmulas

• Permutaciones: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — equivalentemente, el producto de $\vB{r}$ números descendentes que comienzan en $\vA{n}$: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$.
• Combinaciones: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — el mismo conteo de permutaciones, dividido entre las $\vB{r}!$ formas en que esos mismos $\vB{r}$ elementos podrían reordenarse entre sí (ya que el orden no importa en una combinación).

Ejemplo resuelto

Eligiendo 3 elementos de un grupo de 10, donde el orden importa (permutaciones):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

La misma elección donde el orden NO importa (combinaciones):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

Una comprobación del mundo real

Las probabilidades de acertar los 6 números en un sorteo de lotería de 6 de 49 son 1 en C(49,6) — exactamente 13,983,816 — ya que el orden en que se sortean los números no cambia si ganaste o no.

Factores Clave a Considerar

• Si el orden importa es la única pregunta que determina qué fórmula aplica. Ordenar a los ganadores de medallas en un podio (importa 1.º, 2.º, 3.º lugar) es un problema de permutación, mientras que elegir qué 3 personas forman un comité (sin clasificación involucrada) es un problema de combinación — identificar correctamente esta distinción es la fuente de error más común al aplicar estas fórmulas.
• Las combinaciones siempre producen un conteo igual o menor que las permutaciones para los mismos n y r. Como una combinación agrupa cada ordenamiento posible de los mismos r elementos en un solo conteo, C(n,r) siempre es P(n,r) dividido entre r! — los dos valores solo coinciden exactamente cuando r es 0 o 1, ya que solo hay una forma de ordenar 0 o 1 elementos sin importar el orden.
• Tanto los conteos de permutaciones como de combinaciones crecen extremadamente rápido a medida que aumentan n y r. Este crecimiento explosivo (llamado explosión combinatoria) es exactamente la razón por la que las probabilidades tipo lotería se vuelven tan astronómicamente pequeñas con solo un aumento modesto en cuántos números se sortean — pasar de una lotería de 6 de 49 a una de 6 de 59, por ejemplo, empeora significativamente las probabilidades a pesar de que el conjunto solo crece en 10 números.
• Estas fórmulas asumen que cada elemento es distinto y que ninguno puede elegirse más de una vez. Un escenario que permite selecciones repetidas (como un PIN de 4 dígitos donde los dígitos pueden repetirse) usa una fórmula de conteo completamente distinta — siempre confirma si se permite la repetición antes de aplicar las fórmulas estándar nPr/nCr de aquí.

Errores Comunes

• Usar el conteo de permutaciones cuando el orden realmente no importa, o viceversa. Este es el error más común — siempre pregunta primero si intercambiar dos elementos seleccionados contaría como un resultado diferente antes de elegir una fórmula, en lugar de adivinar según cómo esté redactado el problema.
• Olvidar que las combinaciones nunca son mayores que las permutaciones para los mismos n y r. Si un conteo de combinaciones resulta mayor que el conteo de permutaciones correspondiente para las mismas entradas, algo se ingresó mal — las combinaciones dividen el conteo de permutaciones hacia abajo, nunca lo inflan.
• Aplicar estas fórmulas a una situación que permite selecciones repetidas. Ambas fórmulas asumen que cada elemento se puede elegir como máximo una vez — un problema que permite repeticiones (como generar un PIN de 4 dígitos) necesita un enfoque de conteo completamente distinto, no nPr ni nCr.

Útil Saber

• ¿Quieres calcular realmente las probabilidades de un resultado específico, no solo contar las posibilidades? Calculadora de Probabilidad convierte un conteo de combinaciones o permutaciones en una probabilidad real.
• ¿Estás trabajando con un conjunto de datos completo en lugar de solo contar ordenamientos? Calculadora de Estadística calcula la media, la desviación estándar y otras cifras resumen a partir de una lista de números.
• ¿Necesitas simplificar una razón o encontrar un denominador común como parte de un problema de combinatoria relacionado? Calculadora de Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo encuentra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números.