二次方程式

すべてのxの値についてax² + bx + c = 0を解く仕組み

二次方程式の解の公式は、方程式の3つの係数だけを使って、ax² + bx + c = 0の形の任意の方程式をxについて解きます。 a、b、cを入力すると、この計算機は方程式を成り立たせるすべてのxの値を求めます — 答えが実数ではなく複素数を含む場合も含みます。

二次方程式は正しく数えれば常にちょうど2つの解を持ちます: 2つの異なる実数、2回数えられる1つの実数(「重解」)、または1組の複素数です。どの場合に当てはまるかは、完全に判別式(平方根の下の部分)の符号によって決まります — この計算機は生の数字だけでなく、どちらに該当するかを教えてくれます。

計算式

$\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$($\vA{a} \neq 0$)に対して:

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

平方根の下の項、$\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$は判別式と呼ばれます:

計算例

$x^2 - 3x + 2 = 0$($\vA{a}=1$、$\vB{b}=-3$、$\vC{c}=2$)の場合:

1. 判別式: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$、これは正であるため、2つの異なる実数解があります。
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$。
3. $x = \frac{4}{2} = 2$または$x = \frac{2}{2} = 1$。

確認: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$、そして$(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — どちらの解も検算が合います。

考慮すべき重要なポイント

• 二次方程式の解は、まさにそのグラフ(放物線)がx軸と交わる点です。 2つの異なる実数解は放物線がx軸と2点で交わることを意味し、重解は放物線がその軸に1点(頂点)で触れるだけであることを意味し、複素解は放物線がまったくx軸に触れず、完全に上または下にとどまることを意味します。
• 判別式だけで、それ以上の計算をする前に解の性質がわかります。 $b^2 - 4ac$が正、ゼロ、負のいずれであるかを確認することは、公式の残りを完成させることなく、方程式が2つの実数解、1つの重解、または複素共役のペアのどれを持つかを事前に知る手早い方法です。
• 二次方程式のaの係数は決してゼロにはなりません。ゼロになると二次方程式ではなくなります。 a = 0の場合、$x^2$の項が完全に消え、方程式は二次ではなく一次(単純な代数で見つかる高々1つの解)になります — これが、解の公式自体がaがゼロでない場合にのみ有効であり、必要とされる理由です。
• 実数係数を持つ二次方程式では、複素解は常に共役のペアで現れます。 判別式が負の場合、2つの解は常に$p + qi$と$p - qi$の形(同じ実部、符号が逆の虚部)を取ります — このペアリングは、平方根の下の負の数に適用された公式の±の直接の結果です。

よくある間違い

• ±を忘れて、片方の解だけを報告すること。 二次方程式の解の公式の±は、2つの別々の計算(1 つは+、もう1つは-)を行う必要があることを意味します — 最初の計算で止めてしまうと、判別式が ちょうどゼロでない限り、答えの半分を見逃すことになります。
• 負の判別式を複素解ではなく「解なし」として扱うこと。 負の判別式は、方程式に実数解がない ことを意味しますが、それでも2つの有効な複素解があります — 方程式が解けないのではなく、実 数の範囲では解けないだけです。
• a = 0を入力して二次方程式の答えを期待すること。 ゼロでないaがなければ、方程式は二次 ではなく一次であり、公式の2aによる除算は未定義になります — 一次方程式には代わりに単純な代 数が必要です。

知っておくと便利なこと

• 方程式全体を解くのではなく、平方根やn乗根だけが必要ですか? 平方根・n乗根計算機 は平方根 とn乗根を直接計算します。
• 指数だけを扱っていますか? 指数計算機 は累乗と根を計算します。
• この方程式を超えた三角関数、対数、その他の関数のためのより広範な計算機が必要ですか? 関数電卓 は幅広い科学計算に対応します。