Betrouwbaarheidsinterval

Hoe Het Betrouwbaarheidsinterval Wordt Berekend

Een betrouwbaarheidsinterval is een bereik van waarden, opgebouwd rond het eigen gemiddelde van een steekproef, dat waarschijnlijk het werkelijke populatiegemiddelde bevat. Voer het gemiddelde, de standaardafwijking, en de grootte van een steekproef in, kies een zekerheidsniveau, en deze calculator vindt het bereik waarbinnen het werkelijke populatiegemiddelde waarschijnlijk valt.

Een “95%-betrouwbaarheidsinterval,” bijvoorbeeld, betekent dat als je hetzelfde steekproefproces vele keren zou herhalen, ongeveer 95% van de intervallen die het produceerde het werkelijke populatiegemiddelde zou bevatten. Het betekent niet dat er een kans van 95% is dat het werkelijke gemiddelde binnen dit ene specifieke interval valt — een gebruikelijke, technisch onjuiste manier waarop mensen het formuleren. Een breder interval (hoger zekerheidsniveau) werpt een breder net uit en bevat waarschijnlijker het werkelijke gemiddelde; een smaller interval is preciezer maar minder zeker.

De Formule

$$\vE{\text{Standaardfout}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Foutmarge}} = \vC{z} \times \vE{\text{Standaardfout}}$$ $$\text{Betrouwbaarheidsinterval} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Foutmarge}}$$

Waarbij $\vA{s}$ de standaardafwijking van de steekproef is, $\vB{n}$ de steekproefgrootte is, $\vC{z}$ de kritieke waarde is voor het gekozen zekerheidsniveau (opgezocht uit de standaard normale verdeling), en $\vD{\bar{x}}$ het steekproefgemiddelde is. Een grotere steekproefgrootte verkleint de standaardfout — en dus het hele interval — aangezien meer data een preciezere schatting van het werkelijke gemiddelde geeft.

Voorbeeldberekening

Een steekproef van 25 items heeft een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15, bij een zekerheidsniveau van 95% (een kritieke waarde van z = 1,96):

1. Standaardfout: $\vE{\text{Standaardfout}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Foutmarge: $\vF{\text{Foutmarge}} = \vC{1,96} \times \vE{3} = \vF{5,88}$.
3. Betrouwbaarheidsinterval: $\text{Betrouwbaarheidsinterval} = \vD{100} \pm \vF{5,88} = [94,12, 105,88]$.

Dus het werkelijke populatiegemiddelde ligt waarschijnlijk (met 95% zekerheid) ergens tussen 94,12 en 105,88.

Belangrijke Factoren Om Te Overwegen

• Een betrouwbaarheidsinterval zegt niets over hoe de steekproef is verzameld. De wiskunde hier gaat ervan uit dat de steekproef een echt willekeurige, representatieve steekproef van de populatie is — een bevooroordeelde of niet-willekeurige steekproefmethode kan een betrouwbaarheidsinterval opleveren dat precies lijkt maar volledig rond de verkeerde waarde gecentreerd is, een probleem dat deze formule niet kan detecteren of corrigeren.
• Het interval gaat ervan uit dat de onderliggende data ten minste bij benadering normaal verdeeld is, of dat de steekproef groot genoeg is voor de centrale limietstelling om toe te passen. Voor een kleine steekproef uit een sterk scheve verdeling worden zowel de z-verdeling- als de t-verdelingbenaderingen minder betrouwbaar.
• Een betrouwbaarheidsinterval en een in een peiling of enquête gerapporteerde foutmarge beschrijven hetzelfde onderliggende idee. Een nieuwsbericht dat “een foutmarge van plus of min 3 procentpunten” citeert bij een vermeld zekerheidsniveau (vaak 95%) beschrijft precies het interval dat deze calculator berekent, alleen anders geformuleerd.
• Smaller is niet altijd beter als het ten koste gaat van zekerheid. Een strakker interval bij een lager zekerheidsniveau (bijvoorbeeld 80% in plaats van 95%) is preciezer maar bevat minder waarschijnlijk daadwerkelijk de werkelijke waarde — de juiste afweging tussen precisie en zekerheid hangt af van waarvoor de schatting wordt gebruikt.

Veelgemaakte Fouten

• “95% zekerheid” lezen als “95% kans dat het werkelijke gemiddelde in dit interval ligt.” Zodra een steekproef daadwerkelijk is verzameld en het interval berekend, ligt het werkelijke populatiegemiddelde er ofwel binnen of niet — er is geen kans meer om over te praten. De 95% beschrijft het langetermijngedrag van de METHODE over veel herhaalde steekproeven, niet dit ene specifieke resultaat.
• Deze op de z-verdeling gebaseerde formule toepassen op een kleine steekproef zonder de aannames te controleren. De z-verdeling gaat uit van ofwel een grote steekproef (conventioneel n van ongeveer 30 of meer) ofwel een bekende standaardafwijking van de populatie. Een kleine steekproef met alleen een geschatte standaardafwijking zou technisch gezien de t-verdeling moeten gebruiken, die een iets breder — en eerlijker — interval oplevert.
• Het betrouwbaarheidsinterval verwarren met het bereik van de ruwe data. Het interval beschrijft onzekerheid over het populatiegemiddelde, niet waar individuele datapunten vallen — een dataset kan waarden hebben die veel breder verspreid zijn dan het betrouwbaarheidsinterval, terwijl het interval rond het gemiddelde zelf smal blijft, vooral bij een grote steekproef.

Goed Om Te Weten

Omdat de standaardfout krimpt met de vierkantswortel van de steekproefgrootte in plaats van de steekproefgrootte zelf, betekent het halveren van een foutmarge doorgaans dat de steekproefgrootte ongeveer verviervoudigd moet worden, niet slechts verdubbeld — een detail dat ertoe doet bij het plannen hoe groot een enquête of experiment daadwerkelijk moet zijn. Dit verklaart ook waarom peilingen met slechts een paar honderd respondenten toch een redelijk krappe foutmarge kunnen rapporteren: zodra een steekproef een paar honderd bereikt, betekent de vierkantswortelrelatie dat elke extra respondent geleidelijk minder precisie oplevert, dus peilers zien zelden waarde in het opdrijven van steekproefgroottes naar tienduizenden alleen om een fractie van een punt van de marge af te scheren.