Lineaire Interpolatie

Een Waarde Schatten Tussen Twee Bekende Punten

Lineaire interpolatie schat een onbekende waarde tussen twee bekende datapunten door aan te nemen dat het verband ertussen een rechte lijn volgt. Voer twee bekende punten (x, y) in en de x-waarde waarvoor je een geschatte y wilt, en deze rekenmachine vindt de bijbehorende y.

De Formule

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

waarbij $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$ je twee bekende punten zijn, en $x$ de waarde waarvoor je een schatting wilt.

Uitgewerkt Voorbeeld

Een auto bevindt zich op 50 mijl om 2 uur, en op 140 mijl om 5 uur. Waar was hij om 3,5 uur?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ mijl}}$

Belangrijke Factoren Om Te Overwegen

• Interpoleren tussen twee punten is over het algemeen betrouwbaarder dan extrapoleren voorbij hen. Een doel-x-waarde die tussen je twee bekende punten valt, blijft binnen het bereik waarin het verband daadwerkelijk is waargenomen, terwijl een doel buiten dat bereik ervan uitgaat dat dezelfde rechtlijnige trend onveranderd doorzet — een aanname die risicovoller wordt naarmate je verder buiten het bekende bereik gaat.
• Deze methode is exact voor een werkelijk lineair verband, en slechts een benadering anderszins. Een fysiek proces met constante snelheid, een vast tarief, of een echt rechtlijnig verband geeft een exact antwoord via deze formule — maar de meeste processen in de echte wereld (zoals samengestelde groei of versnelling) kromen eigenlijk, dus hoe verder je twee bekende punten uit elkaar liggen, hoe meer een rechtlijnige schatting halverwege kan afwijken van de werkelijkheid.
• Referentietabellen (zoals opzoektabellen in techniek, stoomtabellen, of actuariële tabellen) vertrouwen vaak op lineaire interpolatie tussen vermelde waarden. In plaats van elke mogelijke invoerwaarde te publiceren, vermeldt een tabel een beheersbare set bekende punten en verwacht de lezer om ertussen te interpoleren — dit is een van de meest voorkomende praktische toepassingen van deze exacte techniek.
• Een derde bekend punt toevoegen kan onthullen of lineariteit daadwerkelijk een redelijke aanname is. Als een derde punt dat je kent dicht bij de lijn valt die tussen de andere twee is getrokken, is lineaire interpolatie waarschijnlijk betrouwbaar in dat bereik — als het ver van die lijn afvalt, kromt het onderliggende verband waarschijnlijk en moet een rechtlijnige schatting met meer voorzichtigheid worden behandeld.

Veelgemaakte Fouten

• Ver buiten het bekende bereik extrapoleren en het resultaat met dezelfde zekerheid behandelen als een interpolatie. Een doelwaarde buiten je twee bekende punten gaat ervan uit dat de trend onveranderd doorzet — een veel risicovollere aanname dan het schatten van een waarde die daadwerkelijk ertussen valt.
• Een lineair verband aannemen zonder te controleren of het werkelijke proces echt lineair is. Processen zoals samengestelde groei of versnelling kromen in plaats van een rechte lijn te volgen, dus een lineaire schatting kan aanzienlijk onjuist zijn, vooral ver van de bekende punten.
• Verwarren welk bekend punt welk is. Het verwisselen van x1/y1 met x2/y2 in de formule levert een andere (en foutieve) helling op — controleer dubbel dat de x- en y-waarden van elk bekend punt correct samen zijn ingevoerd.
• Twee bekende punten gebruiken die ver uit elkaar liggen terwijl het onderliggende verband niet lineair is. Hoe breder de kloof tussen je twee punten, hoe meer ruimte een kromme heeft om af te wijken van de rechte lijn die ze verbindt — dichterbij liggende, relevantere bekende punten leveren over het algemeen een betrouwbaardere schatting op.

Goed Om Te Weten

• Heb je meerdere datapunten in plaats van slechts twee, en wil je de ene best passende lijn door ze allemaal? De Kleinste-Kwadratenregressie Calculator-rekenmachine behandelt dat bredere geval.
• Heb je de helling tussen twee punten nodig in plaats van een geschatte waarde bij een derde? De Afstand, Middelpunt en Helling Calculator -rekenmachine dekt dat direct.