Z-Score

Standardisere en Verdi Mot en Fordelings Gjennomsnitt

En z-score måler hvor mange standardavvik en verdi ligger over eller under en fordelings gjennomsnitt. Angi en verdi, fordelingens gjennomsnitt, og dens standardavvik for å finne z-scoren og den tilsvarende persentilen — hvilken andel av en normalfordeling som faller på eller under den verdien.

En z-score på 0 betyr at verdien er nøyaktig lik gjennomsnittet. Positive z-scorer er over gjennomsnittet; negative z-scorer er under det. Fordi omtrent 68% av en normalfordeling faller innenfor 1 standardavvik fra gjennomsnittet, 95% innenfor 2, og 99,7% innenfor 3, gir en z-score alene en umiddelbar følelse av hvor uvanlig en verdi er.

Formelen

$$\text{Z-Score} = \frac{\vA{\text{Verdi}} - \vB{\text{Gjennomsnitt}}}{\vC{\text{Standardavvik}}}$$

Persentilen kommer fra standard normalfordelingens kumulative fordelingsfunksjon — sannsynligheten for at en tilfeldig trukket verdi fra den fordelingen faller på eller under den angitte z-scoren, beregnet her via en veletablert polynomisk tilnærming av feilfunksjonen.

Regneeksempel

En IQ-score på 115, hvor IQ-scorer har et gjennomsnitt på 100 og et standardavvik på 15:

1. Z-score: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, deretter $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Persentil: en z-score på nøyaktig 1 tilsvarer den 84,13. persentilen — denne verdien er høyere enn omtrent 84% av fordelingen.

Viktige Faktorer å Vurdere

• Denne beregningen forutsetter at den underliggende fordelingen er genuint normal (klokkeformet), noe som ikke stemmer for hvert reelt datasett. Mange virkelighetsmålinger (som høyde eller IQ-poeng) tilnærmer en normalfordeling tett nok til at dette fungerer godt, men en fordeling som er sterkt skjev eller har flere topper vil ikke få persentilen sin nøyaktig beskrevet av den standard normalkurven denne kalkulatoren stoler på.
• En z-score standardiserer verdier fra forskjellige fordelinger til samme sammenlignbare skala. Dette er nøyaktig det som gjør z-scorer nyttige for å sammenligne en verdis relative stilling på tvers av to forskjellige målinger med forskjellige gjennomsnitt og standardavvik — som å sammenligne en testpoengsum på én eksamen mot en annen eksamen med en annen poengskala.
• Denne kalkulatoren beregner en ENSIDIG persentil (andelen av fordelingen på eller under en verdi), som er forskjellig fra en tosidig (begge-haler) sannsynlighet. Avhengig av spørsmålet som stilles — «hvilken andel scoret lavere enn meg» versus «hvor uvanlig er denne verdien i begge retninger» — kan det relevante tallet å bruke variere, og det er verdt å være klar over hvilket ett spesifikt bruksområde faktisk trenger.
• Z-score-kalkulatoren og Statistikk-kalkulatoren besvarer relaterte, men genuint forskjellige spørsmål. Statistikk-kalkulatoren beregner et datasetts EGET gjennomsnitt og standardavvik fra rå tall, mens denne kalkulatoren scorer ÉN verdi mot en ALLEREDE-KJENT fordelings gjennomsnitt og standardavvik — de to brukes ofte sammen, ved først å beregne en fordelings parametere, deretter score individuelle verdier mot den.

Vanlige Feil

• Å bruke en utvalgsstatistikk som om det var den sanne populasjonens gjennomsnitt/standardavvik. Et gjennomsnitt og standardavvik estimert fra et lite utvalg bærer sin egen usikkerhet — å behandle dem som eksakte populasjonsparametere kan få en persentil til å virke mer presis enn den egentlig er.
• Å anta at de underliggende dataene er normalfordelt uten å sjekke det. Persentil- omregningen holder bare for genuint klokkeformede data — for en skjev eller flertoppet fordeling forblir den beregnede z-scoren gyldig, men persentiltallet som kommer ut av den kan være alvorlig misvisende.
• Å forveksle en ensidig persentil med en tosidig (begge-haler) sannsynlighet. «Hvilken andel scoret lavere enn meg» og «hvor uvanlig er denne verdien i begge retninger» er forskjellige spørsmål med forskjellige svar — å bruke feil for situasjonen fører til feiltolkning av resultatet.

Godt å Vite

• Trenger du først gjennomsnittet og standardavviket for å legge inn her? Statistikkalkulator beregner begge direkte fra en rå tallliste.
• Vil du uttrykke hvor pålitelig et anslag er, i stedet for å score en enkelt verdi? Konfidensintervall-kalkulator bygger et intervall rundt en utvalgsstatistikk i stedet for en enkelt standardisert score.